Fonction logarithme népérien (ln)

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Le logarithme népérien

Pour tout réel $a>0$, l’équation $\text{e}^x=a$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$, appelée logarithme népérien de $a$ et notée $\ln{(a)}$ ou $\ln{a}$.
On définit ainsi sur $]0\ ;\,+\infty[$ la fonction logarithme népérien, notée $\ln$, qui, à tout $x>0$, associe le réel $\ln{(x)}$ :

$$\begin{aligned} \ln:\ ]0\ ;\,+\infty[ &\to \mathbb R \\ x&\mapsto \ln{(x)} \end{aligned}$$

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.
La fonction $x \mapsto \ln{(x)}$ est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur $] 0\ ;+\infty[$.
Sa dérivée est $x\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \frac{1}{x}$.
$u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
La fonction $\ln{(u)}$ est dérivable sur $I$ et :

$$\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}$$

Les limites de la fonction aux bornes de son domaine de définition sont :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} &=-\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln{(x)} &=+\infty \end{aligned}$$

Alt Terminale option mathématiques complémentaire fonction logarithme népérien exponentielle

Propriétés

Propriétés	Conditions
$\text{e}^b=a \Leftrightarrow b=\ln{(a)}$	$a>0$ et $b$ réels
$\text{e}^{\ln{(a)}}=a$	$a>0$ réel
$\ln{\left(\text{e}^b\right)}=b$	$b$ réel
$\ln{(1)}=0$ et $\ln{(\text e)}=1$
$\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)}$	$a>0$ et $b>0$ réels
$\ln{\left(\dfrac{1}{a}\right)}=-\ln{(a)}$	$a>0$ réel
$\ln{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\ln{(a)}-\ln{(b)}$	$a>0$ et $b>0$ réels
$\ln{\left(\sqrt{a}\right)}=\dfrac{1}{2}\ln{(a)}$	$a>0$ réel
$\ln{\left(a^n\right)}=n\ \ln{(a)}$	$a>0$ réel et $n$ entier relatif
$a=b \Leftrightarrow \ln{(a)}=\ln{(b)}$	$a > 0$ et $b > 0$ réels
$a < b \Leftrightarrow \ln{(a)}<\ln{(b)}$	$a > 0$ et $b > 0$ réels
$a > b \Leftrightarrow \ln{(a)}>\ln{(b)}$	$a > 0$ et $b > 0$ réels
$\ln{(x)} < 0\Leftrightarrow 0 < x < 1$
$\ln{(x)} > 0\Leftrightarrow x > 1$

Résolution d’équations et d'inéquations

Pour résoudre une équation du type $\ln\big(u(x)\big) = \ln\big(v(x)\big)$, il faut respecter les étapes suivantes :
rechercher l’ensemble $E$ des réels tels que $u(x) > 0$ et $v(x) > 0$ ;
résoudre l’équation $u(x) = v(x)$ ;
prendre les solutions qui sont dans $E$ et rejeter les autres.
Pour résoudre une inéquation du type $\ln\big(u(x)\big) \geq \ln\big(v(x)\big)$, il faut respecter les étapes suivantes :
rechercher l’ensemble $E$ des réels tels que $u(x) > 0$ et $v(x) > 0$ ;
résoudre l’équation $u(x) \geq v(x)$ ;
ne garder que les solutions qui sont dans $E$.

Fiche de révision : Fonction logarithme népérien (ln)

Le logarithme népérien

Propriétés

Résolution d’équations et d'inéquations