Fonction logarithme : continuité, limites et dérivabilité
Introduction :
Nous allons effectuer dans ce cours une étude complète de la fonction logarithme népérien. Dans un premier temps, nous étudierons les fonctions de la forme $\ln{(x)}$ avec $x$ une variable, puis les fonctions de la forme $\ln{(u)}$ avec $u$ une fonction.
Étude des fonctions de la forme $\ln{(x)}$
Étude des fonctions de la forme $\ln{(x)}$
Continuité, dérivabilité et sens de dérivation
Continuité, dérivabilité et sens de dérivation
Propriété
La fonction $\ln\ x$ est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur $\rbrack 0\ ;+\infty\lbrack$. Sa dérivée est $x\to \dfrac{1}{x}$.
Limites
Limites
Propriété
- Limites de $\ln :$
$\lim\limits_{\stackrel{x \to 0} {x>0}} \ln{(x)}=-\infty$
et
$\lim\limits_{x \to +\infty}=+\infty$
- Limites par croissances comparées :
$\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0 }}x\ \ln\ x= 0$
et
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\ x}{x}=0$
Exemple d’étude complète
Exemple d’étude complète
Exemple
Étudions la fonction $f$ définie sur $\rbrack 0\ ;+\infty\lbrack$ par $f(x)=x\ln{(x)}-2x$.
- Calcul de la dérivée :
$x\to x\ln{(x)}$ est de la forme $u(x) \times v(x)$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln{(x)}$.
On connaît donc sa dérivée avec la formule : $(u(x) \times v(x))'=u'(x) \times v(x)+v'(x) \times u(x)$
Ainsi $(x\ln{(x)})'=\ln{(x)}+1$
D’où $f'(x)=\ln{(x)}-1$
- Étude du signe de la dérivée :
$f'(x)\geq 0 \Leftrightarrow \ln{(x)}-1\geq0 \Leftrightarrow \ln{(x)}\geq1 \Leftrightarrow x\geq e$ car $\ln$ est strictement croissante sur $\rbrack 0\ ;+\infty\lbrack$.
Ainsi $f'$ est positive sur $\lbrack e\ ;+\infty\lbrack$ et négative sur $\rbrack 0\ ;e \lbrack$.
- Lien avec les variations de la fonction :
Rappel
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive ; et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
Ainsi $f$ est croissante sur $\lbrack e\ ;+\infty\lbrack$ et décroissante sur $\rbrack 0\ ;e\lbrack$ .
- Étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition :
- Limite en $0$ :
D’après le cours :
$\lim\limits_{\stackrel{x \to 0} {x>0}}x\ln{(x)}=0$ et $\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0}}-2x=0$
- Alors $\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0}}f(x)=\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0}}x\ln{(x)}+\lim\limits_{\stackrel{x \to 0} {x>0}}-2x=0$
- Limite en $+\infty:$
D’après le cours :
$\lim\limits_{x \to +\infty}x\ln{(x)}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}-2x=-\infty$
On reste donc avec une forme indéterminée du type $(+\infty) + (-\infty)$
Pour lever ce problème, on factorise :
$f(x)=x\ln{(x)}-2x=x(\ln{(x)}-2)$,
Or $\lim\limits_{x \to +\infty}(\ln{(x)}-2)=+\infty$ , alors $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$
On peut alors construire le tableau de variations de $f$ :
Étude des fonctions de la forme $\ln{(u)}$
Étude des fonctions de la forme $\ln{(u)}$
Définition et dérivabilité de $\ln{(u)}$
Définition et dérivabilité de $\ln{(u)}$
Définition
Dérivabilité de $\ln{(u)}$ :
Dans cette partie, on appelle $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
$\ln{(u)}$ n’est définie que lorsque $u$ est strictement positive.
Exemple
La fonction $x\to \ln{(2x+6)}$ n’est définie que lorsque $2x+6\rangle0$ , c’est à dire lorsque $x\rangle -3$.
Alors $I=\rbrack -3\ ;+\infty\lbrack$
Propriété
$\ln'{(u)}=\dfrac{u'}{u}$
- Cette formule se déduit de la formule de dérivation d’une composée : $(v(u(x)))'=u'(x)\times v'(u(x))$
Exemple d’étude complète
Exemple d’étude complète
Exemple
Étude de la fonction $f:x\to \ln{(2x+6)}$ sur $I=\rbrack -3 ;+\infty\lbrack$
Nous allons suivre la même démarche que précédemment.
- Calcul de la dérivée :
$f'(x)=\dfrac{(2x+6)'}{2x+6}=\dfrac{2}{2x+6}=\dfrac{1}{x+3}$
- Étude du signe de la dérivée :
$f'(x)\geq0<=>x+3\geq0<=>x\geq-3$, donc $f'$ est positive sur $I=\rbrack -3\ ;+\infty\lbrack$.
- Lien avec les variations de la fonction :
$f$ est donc croissante sur $I$.
- Limites aux bornes de l’ensemble de définition :
- En $x=-3$ : $\lim\limits_{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}(2x+6)=0$ , or $\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0}}\ln{(x)}=-\infty$
- Par composition, on a donc : $\lim\limits_{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}f(x)=-\infty$
- En $+\infty :$ $\lim\limits_{x \to +\infty}(2x+6)=+\infty$ or $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln{(x)}=+\infty$
- Par composition, on a ainsi : $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$
On peut donc construire le tableau de variations de $f:$
