Fiche de révision : Limites de fonctions

Limites de fonctions

Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪

Limite à l’infini

Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$.
Une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$ donné, les images $f(x)$ sont supérieures à $A$ à partir de $x$ assez grand :

$$\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= +\infty$$

Une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$ donné, les images $f(x)$ sont inférieures à $A$ à partir de $x$ assez grand :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= - \infty$$

On définit de la même manière les limites infinies en $-\infty$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ réel).
Dire que $f$ a pour limite le réel $l$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand :

$$\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)=l$$

La droite d’équation $y=l$ est alors asymptote horizontale en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.

Limite infinie en un point et asymptote verticale

Soit $a$ un réel et $h$ un réel positif non nul et $f$ une fonction définie sur une partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle $]a-h\ ;\,a[$ ou $]a\ ;\,a+h[$.
$f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout $A$, les images $f(x)$ sont supérieures à $A$ quand $x$ est suffisamment proche de $a$ :

$$\lim\limits_{x \to a}f(x)= +\infty$$

$f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout $A$, les images $f(x)$ sont inférieures à $A$ quand $x$ est suffisamment proche de $a$ :

$$\lim\limits_{x \to a}f(x)= -\infty$$

On parle de limite à gauche en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures à $a$.
On parle de limite à droite en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures à $a$.
La droite d’équation $x=a$ est alors asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$.

Déterminer une limite

$\lim\limits_{x \to +\infty} x^n= +\infty$	$n$ entier naturel
$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= +\infty$	$n$ entier naturel pair
$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= -\infty$	$n$ entier naturel impair
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac 1x = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac 1x =0$
$\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}\dfrac 1x = +\infty$
$\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0}\dfrac 1x = -\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt x= +\infty$
$ \lim\limits_{x\to -\infty} \text{e}^x =\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} =0$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^x=+\infty$

Avec $a$ qui peut être un réel, $-\infty$ ou $+\infty$, $l$ et $l^{\prime}$ deux réels.

$\lim\limits_{x \to a} f(x)$	$l$	$l$	$l$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim\limits_{x \to a} g(x)$	$l^\prime$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)+g(x)}$	$\red{l+l^\prime}$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{\text{FI}}$

$\lim\limits_{x\to a} f(x)$	$l$	$l>0$	$l>0$	$l<0$	$l<0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$\lim\limits_{x \to a} g(x)$	$l^\prime$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$
$\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)\times g(x)}$	$\red{ l\times l^\prime}$	$\red {+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{\text{FI}}$

$\lim\limits_{x\to a} f(x)$	$l$	$l$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$	$l$	$0$
$\lim\limits_{x \to a} g(x)$	$l^\prime\neq0$	$\pm\infty$	$l^\prime>0$	$l^\prime<0$	$l^\prime>0$	$l^\prime<0$	$\pm\infty$	$0^+_-$	$0$
$\red{\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}}$	$\red{ \dfrac l {l^\prime}}$	$\red 0$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{\text{FI}}$	$\red{\pm\infty}$	$\red{\text{FI}}$

Il existe donc quatre formes indéterminées : $(+\infty) + (-\infty )$ ; $0\times \infty$ ; $\dfrac {\infty}{\infty}$ ; $\dfrac {0}{0}$.
Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.
Fonction composée : soit $a$, $l$ et $L$ trois nombres réels, et $f$ et $g$ deux fonctions telles que : $g\,:\,I \to J$ et $f\,:\,J \to \mathbb{R}$.
Si $\lim\limits_{x \to a} g(x)= l$ et $\lim\limits_{x \to l} f(x) = L$, alors :

$$\lim\limits_{x \to a} f\big(g(x)\big) = \lim\limits_{x \to a} (f\circ g)(x) = L$$

La propriété est aussi valable lorsque $a$, $l$ ou $L$ sont $-\infty$ ou $+\infty$.
Théorème de comparaison :
Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)\geq g(x)$ sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= +\infty$, alors :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty$$

Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)\leq g(x)$ sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)= -\infty$, alors :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f( x)= -\infty$$

Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.
Théorème des gendarmes :
Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $[a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= \lim\limits_{x \to +\infty} h( x)= l$, alors :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)=l$$

Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$, et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.

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