Fonctions de référence
Introduction :
On commencera ce cours en revoyant les fonctions affines, la fonction carré et la fonction inverse.
Nous introduirons ensuite de nouvelles fonctions de référence : tout d'abord la fonction racine carrée puis la fonction valeur absolue. Nous terminerons avec les fonctions associées à ces fonctions de référence.
Rappels sur les fonctions de référence
Rappels sur les fonctions de référence
Fonctions affines
Fonctions affines
Définition
Fonction affine :
$a$ et $b$ désignent deux nombres réels fixés. Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par la relation $f(x)=ax+b$.
Exemple
$a=-2$ et $b=5$.
La fonction $f$ qui à un nombre $x$ associe le nombre $-2x+5$ est une fonction affine.
Attention
Il existe deux cas particuliers :
- Si $a=0$, l'écriture devient $f(x)=b$. On dit que $f$ est une fonction constante.
- Si $b=0$, l'écriture devient $f(x)=ax$. On dit que $f$ est une fonction linéaire de coefficient $a$.
Propriété
Soit la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.
La représentation graphique de $f$ dans un repère est la droite d'équation $y=ax+b$ qui passe par le point de coordonnées $(0\ ;\ b)$ :
- $a$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ;
- $b$ est l'ordonnée à l'origine de la droite $(d)$.
Propriété
Propriété :
Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur :
- si $a>0$ la fonction est croissante, la droite « monte ».
- si $a=0$ la fonction est constante, la droite est horizontale.
- si $a<0$ la fonction est décroissante, la droite « descend ».
- On obtient donc les tableaux de variation et les tableaux de signes suivants :
À retenir
Le changement de signe se produit pour $x=-\dfrac{a}{b}$ lorsque la droite représentative de $f$ coupe l'axe des abscisses.
Fonction carré
Fonction carré
Définition
Fonction carré :
La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
Propriété
- La courbe représentative de la fonction carré s'appelle une parabole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- L'origine du repère est le sommet de cette parabole.
- La fonction carré est décroissante sur l'intervalle $]-\infty\ ;0]$ puis croissante sur $[0\ ;+\infty[$.
Fonction inverse
Fonction inverse
Définition
Fonction inverse :
La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.
Astuce
$\mathbb{R}^*$ se lit « R privé de zéro » ce qui peut aussi s'écrire $\mathbb{R}\setminus{0}$.
Propriété
- La courbe représentative de la fonction inverse s'appelle une hyperbole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.
- La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais l'axe des abscisses ni l'axe des ordonnées.
- La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\ ;0[$ et décroissante sur $]0\ ;+\infty[$.
Astuce
La double barre du tableau de variations veut dire que $x$ ne peut pas prendre la valeur $0$. En effet, $0$ est une valeur interdite pour $x$ car dans la fonction inverse, $x$ est le diviseur.
Nouvelles fonctions de référence
Nouvelles fonctions de référence
Fonction racine carrée
Fonction racine carrée
Soit $a $ un réel positif. Le nombre $\sqrt{a}$ désigne le seul réel positif dont le carré vaut $a$. On définit alors la fonction racine carrée sur l'ensemble des nombres réels positifs.
Définition
Fonction racine carrée :
La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie sur $[0\ ;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.
Propriété
- Pour tout $x\in\mathbb{R}^+$ on a :
- $\sqrt x\geq0$
- $(\sqrt x)^2=x$
- $\sqrt{x^2}=x$
- La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\ ;+\infty[$ ;
- Les racines carrées de deux nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces deux nombres.
Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs, alors $a < b$ équivaut à $\sqrt a < \sqrt b$
Voici la courbe représentative de la fonction racine :
Positions relatives de trois courbes sur $[0\ ;+\infty[$
Positions relatives de trois courbes sur $[0\ ;+\infty[$
Théorème
Pour tout $x\in]0\ ;1[$ on a $x^2 < x < \sqrt x$
Sur $]0\ ;1[$ la courbe représentative de la fonction carré $f(x)=x^2$ est en dessous de la courbe représentative de la fonction linéaire $f(x)=x$ qui est elle-même en dessous de la courbe représentative de la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt x$.
Théorème
Pour tout $x=0$ et $x=1$, on a $x^2=x=\sqrt x$
Aux points d'abscisses $0$ et $1$, les trois courbes représentatives sont sécantes.
Théorème
Pour tout $x\in]1\ ;+\infty[$ on a $\sqrt x < x < x^2$
Sur $]1\;+\infty[$ la courbe représentative de la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt x$ est en dessous de la courbe représentative de la fonction linéaire $f(x)=x$ qui est elle-même en dessous de la courbe représentative de la fonction carré $f(x)=x^2$.
Fonction valeur absolue
Fonction valeur absolue
Définition
Fonction valeur absolue :
- La valeur absolue d'un nombre réel positif est le nombre lui-même.
- La valeur absolue d'un nombre négatif est l'opposé de ce nombre. Autrement dit, la valeur absolue du nombre $x$ notée $|x|$ est :
$$|x|= \bigg\lbrace \begin{aligned}\ -x&\ \ \ \ \ \text{ si }&x\leq0 \\ x&\ \ \ \ \ \text{ si }&x\geq0 \\ \end{aligned}$$
Exemple
$\begin{aligned} |5|&=5\\ |-3|&=3\\ |0|&=0\\ \end{aligned}$
Propriété
Propriétés :
- Pour tout réel $x$ on a :
- $|x|\geq0$
- $|x|=|-x|$
- $\sqrt{x^2}=|x|$
- La fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty\ ;0]$ et croissante sur $[0\ ;+\infty[$. La fonction valeur absolue admet en $x=0$ un minimum égal à $0$.
- La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites. Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Astuce
- Pour résoudre une équation de la forme $|x|=a$, avec $a$ un réel quelconque, on trace la courbe représentative de la fonction valeur absolue et la droite d'équation $y=a$.
On distingue alors trois cas :
- Si $a<0$, la droite d'équation $y=a$ et la courbe représentative de la fonction valeur absolue ne sont pas sécantes ; l'équation $|x|=a$ n'admet donc pas de solution.
- Si $a=0$ la droite d'équation $y=a$ et la courbe représentative de la fonction valeur absolue sont sécantes au point de coordonnées $(0\ ;0)$. L'équation $|x|=a$ admet donc une unique solution, qui est 0.
- Si $a>0$ la droite d'équation $y=a$ et la courbe représentative de la fonction valeur absolue sont sécantes aux points de coordonnées $(-a\ ;a)$ et $(a\ ;a)$ l'équation $|x|=a$ admet donc deux solutions, qui sont $-a$ et $a$.
Exemple
- Pour écrire sans utiliser la valeur absolue une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(x)=|x-3|$, on procède en plusieurs étapes :
- On doit trouver le signe de l'expression qui se trouve à l'intérieur de la valeur absolue. Ce que l'on connait sur la fonction affine permet de savoir que :
- $x-3$ s'annule quand $x=3$.
- $x-3$ est négative sur $]-\infty\ ;3[$ et positive sur $]3\ ;+\infty[$.
- On doit ensuite écrire la fonction sans valeur absolue sur chacun des intervalles précédents :
- sur $]-\infty\ ;3[$ on sait que $x-3<0$ donc $|x-3|=-x+3$ (car la valeur absolue d'un nombre négatif est l'opposé de ce nombre).
- sur $]3\ ;+\infty[$ on sait que $x-3>0$ donc $|x-3|=x-3$ (car la valeur absolue d'un nombre positif est ce nombre lui-même)
- Il ne reste plus qu'à regrouper les données dans un tableau récapitulatif :
Fonctions associées $u+\lambda\;\ \lambda u\ ;\ \sqrt u\ ;\ \frac{1}{u}$
Fonctions associées $u+\lambda\;\ \lambda u\ ;\ \sqrt u\ ;\ \frac{1}{u}$
La fonction $u+\lambda$
La fonction $u+\lambda$
Propriété
- Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$ et soit $\lambda$ (lambda) un réel. La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=u(x)+\lambda$ a le même sens de variation que $u$ sur $I$.
- Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O\;\vec\imath\ ;\vec\jmath)$. La courbe représentative de la fonction $u+\lambda$ est l'image de la courbe représentative de la fonction $u$ par la translation de vecteur $\lambda\vec\jmath$.
- Autrement dit la courbe de la fonction $u+\lambda$ est identique à celle de la fonction $u$ mais « plus haute » ou « plus basse » dans le repère.
La fonction $\lambda u$
La fonction $\lambda u$
Propriété
Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$ et soit $\lambda$ un réel. La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=\lambda u(x)$ a le même sens de variation que $u$ si $\lambda>0$ et le sens de variation contraire à celui de $u$ si $\lambda<0$.
La fonction $\sqrt u$
La fonction $\sqrt u$
Propriété
Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$. Si, pour tout $x$ de $I$, $u(x)\geq0$ alors la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=\sqrt{u(x)}$ a le même sens de variation que $u$ sur $I$.
La fonction $\dfrac{1}{u}$
La fonction $\dfrac{1}{u}$
Propriété
Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$. La fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$ est définie en tout $x$ de $I$ tel que $u(x)\ne0$. Dans ce cas, la fonction $\dfrac{1}{u}$ a le sens de variation contraire à celui de $u$ sur $I$.