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Fiche de révision : Fonctions de référence

Fonctions de référence

Rappels sur les fonctions de référence déjà étudiées

Les fonctions affines

Définition :

$a$ et $b$ désignent deux nombres réels fixés. Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $R$ par la relation $f(x)=ax+b$.

Propriété :

Soit la fonction affine $f$ définie sur $R$ par $f(x)=ax+b$.

La représentation graphique de $f$ dans un repère est la droite d’équation $y=ax+b,$ qui passe par le point de coordonnées $(0 ; b)$ :

  • $a$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ;
  • $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $(d)$.

Propriété :

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur $a$.

  • Si $a > 0$, la fonction est croissante, la droite « monte ».
  • Si $a=0$, la fonction est constante, la droite est horizontale.
  • Si $a < 0$, la fonction est décroissante, la droite « descend ».

La fonction carré

Définition :

La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x)=x^2$

Propriétés :

  • La courbe représentative de la fonction carré s’appelle une parabole.
  • Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • L’origine du repère est le sommet de cette parabole.

La fonction carré est décroissante sur l’intervalle $]-\infty ;0]$ puis croissante sur $[0\ ; +\infty[$

La fonction inverse

Définition :

La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $R$ \ {$0$} par $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Propriété :

  • La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole.
  • Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’origine.
  • La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais l’axe des abscisses.

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$ et décroissante sur $]0 ; +\infty[$

Nouvelles fonctions de référence

Fonction racine carrée

Définition :

La fonction racine carrée est la fonction f définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=x$.

Propriétés :

Pour tout $x$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^+$, on a :

  • $\sqrt x\geq0$
  • $(\sqrt x)^2=x$
  • $\sqrt{x^2}=x$

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ ;

Les racines carrées de deux nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces deux nombres.

Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs, alors $a < b$ équivaut à $\sqrt {a} < \sqrt {b}$

Positions relatives de trois courbes

Théorème :

Positions relatives de trois courbes sur $[0 ; +\infty[$

  • Pour tout $x$ $\epsilon$ $]0 ;1[$ on a $x^2 < x < \sqrt{x}$
  • Pour $x=0$ et $x=1$, on a $x^2=x=\sqrt{x}$
  • Pour tout $x$ $\epsilon$ $]1 ; +\infty[$ on a $\sqrt{x} < x < x^2$

Fonction valeur absolue

Définition :

  • La valeur absolue d’un nombre réel positif est le nombre lui-même.
  • La valeur absolue d’un nombre négatif est l’opposé de ce nombre.

Autrement dit, la valeur absolue du nombre $x$, notée $|x|$, est :

  • $|x|=-x$ si $x \leq 0$
  • $|x|=x$ si $x\geq0$

Propriétés :

Pour tout réel $x$, on a :

  • $|x|\geq0$
  • $|x|=|-x|$
  • $x^2=|x|$

La fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[.$

Tableau de variation :

La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites. Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Fonctions associées $u+\lambda$ ; $\lambda u$ ; $\sqrt u$ ; $\dfrac{1}{u}$

La fonction $u+\lambda$

Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$ et soit $\lambda$ un réel.
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=u(x)+\lambda$ a le même sens de variation que $u$ sur $I$.

Le plan est muni d’un repère orthogonal $(O\ ; i\ ; j)$ La courbe représentative de la fonction $u+\lambda$ est l’image de la courbe représentative de la fonction $u$ par la translation de vecteur $\lambda\vec\jmath$

La fonction $\lambda u$

Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$ et soit $\lambda$ un réel.

La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=\lambda u(x)$ a le même sens de variation que $u$ si $\lambda > 0$ et le sens de variation contraire à celui de $u$ si $\lambda < 0$

La fonction $\sqrt u$

Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$.

Si, pour tout $x$ de $I$, $u(x)\geq 0$, alors la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=\sqrt u (x)$ a le même sens de variation que $u$ sur $I$.

La fonction $\dfrac{1}{u}$

Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$.

La fonction $f$ telle que $f(x)=\frac{1}{u(x)}$ est définie en tout $x$ de $I$ tel que $u(x)\neq0$.

Dans ce cas, la fonction $\dfrac{1}{u}$ a le sens de variation contraire à celui de $u$ sur $I$.