Cours : Fonctions cosinus et sinus

Rappels

Reprenons, pour commencer, la définition du cosinus et du sinus d’un nombre réel.

Définition

Cosinus et sinus d’un nombre réel :

Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$.

• Le cosinus du réel $x$, noté $\cos {(x)}$ (ou $\cos {x}$), est l’abscisse du point $M$ dans le repère $(O\ ;\,\vec\imath,\,\vec\jmath\,)$.
• Le sinus du réel $x$, noté $\sin {(x)}$ (ou $\sin {x}$), est l’ordonnée du point $M$ dans le repère $(O\ ;\,\vec\imath,\,\vec\jmath\,)$.

• À chaque réel $x$, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.

Exemple

Le point $M$ a pour coordonnées $M\big(\cos {(x)}\ ;\,\sin {(x)}\big)$.

Redonnons maintenant quelques valeurs particulières des cosinus et sinus.

Les cosinus et sinus respectent les propriétés suivantes.

Propriété

Pour tout nombre réel $x$ :

• $-1\leq \cos{(x)}\leq 1$ ;
• $-1\leq \sin {(x)}\leq 1$ ;
• $\cos^2{(x)} +\sin^2{(x)} =1$.

Enfin, les cosinus et sinus d’angles associés respectent certaines égalités, qu’il faut connaître ou pouvoir retrouver à partir du cercle trigonométrique.

Étude de la fonction cosinus

Dans cette partie, nous allons étudier la fonction cosinus, ses variations et tracer sa courbe représentative, comme nous l’avions fait en première. Mais, cette fois, nous partirons de la fonction dérivée de la fonction cosinus.

Rappel

La fonction qui, à tout réel $x$, associe le cosinus de $x$ est appelée fonction cosinus.

• La fonction $x \mapsto \cos{(x)}$ est définie sur $\mathbb{R}$.

Dérivabilité de la fonction cosinus

Propriété

• La fonction cosinus est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ :

$$\cos^{\prime} {(x)} = -\sin{(x)}$$

Maintenant que nous connaissons la dérivée de la fonction cosinus, nous pouvons en réaliser l’étude.

Étude sur l’intervalle $[0\ ; \pi]$

Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ;\,\pi]$, on sait que $\cos^{\prime} {(x)} = -\sin{(x)}$.

Observons le cercle trigonométrique :

Nous voyons :

• $\sin{(0)}=\sin{(\pi)}=0$
• Nous en déduisons :

$$\cos^{\prime} {(x)}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ou}}} \\ x=\pi \end{cases}$$

• $\sin{(x)}> 0$, pour tout $x \in]0\ ;\,\pi[$
• Nous en déduisons, pour tout $x \in]0\ ;\,\pi[$ :

$$\begin{aligned} \sin{(x)} > 0 &\Leftrightarrow -\sin{(x)}<0 \\ &\Leftrightarrow \cos^{\prime} {(x)}<0 \end{aligned}$$

• En conclusion, sur $[0\ ;\,\pi]$, la fonction cosinus :
• admet un maximum en $x=0$, égal à $\cos {(0)} =1$,
• est strictement décroissante sur $]0\ ;\,\pi[$,
• admet un minimum en $x=\pi$, égal à $\cos {(\pi)}=-1$.
• Nous pouvons maintenant tracer le tableau de variations de la fonction cosinus, ainsi que sa courbe représentative sur $[0\ ;\,\pi]$.

Étude sur l’intervalle $\mathbb R$ grâce à la parité et à la périodicité

• Parité de la fonction cosinus

L’ensemble de définition de la fonction cosinus est $\mathbb{R}$, qui est bien un ensemble symétrique par rapport à $0$.

Avec $f$ la fonction cosinus, on a pour tout nombre réel $x$ :

$$f(-x) = \cos{(-x)} = \cos{(x)} = f(x)$$

• La fonction cosinus est paire.

Rappel

• Une fonction $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$, pour tout $x\in D_f$ tel que $-x\in D_f$.
• Une fonction $f$ est impaire si $f(-x) = - f(x)$, pour tout $x\in D_f$ tel que $-x\in D_f$.

Propriété

La courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle $[-\pi\ ;\,\pi]$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[0\ ;\,\pi]$.

• Périodicité de la fonction cosinus

Nous savons que, pour tout nombre réel $x$ :

$$f(x+2\pi)=\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)} =f(x)$$

• La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$.

Propriété

La courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur $2 \pi \vec \imath$.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur $\mathbb{R}$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[-\pi\ ; \pi]$.

Rappel

La courbe représentative de la fonction cosinus est appelée sinusoïde.

Étude de la fonction sinus

Étudions maintenant la fonction sinus.

Rappel

La fonction qui, à tout réel $x$, associe le sinus de $x$ est appelée fonction sinus.

• La fonction $x \mapsto \sin{(x)}$ est définie sur $\mathbb{R}$.

Dérivabilité de la fonction sinus

Propriété

• La fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ :

$$\sin^{\prime} {(x)}= \cos{(x)}$$

Étude sur l’intervalle $[0\ ;\,\pi]$

Observons le cercle trigonométrique :

Nous voyons :

• $\cos{\left(\frac{\pi}2\right)}=0$
• Nous en déduisons :

$$\sin^{\prime} {(x)}=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{\pi}2$$

• $\cos{(x)}> 0$, pour tout $x \in \left[0\ ;\, \frac{\pi}2\right[$
• Nous en déduisons, pour tout $x \in\left[0\ ;\, \frac{\pi}2\right[$ :

$$\cos{(x)} > 0 \Leftrightarrow \sin^{\prime} {(x)}>0$$

• $\cos{(x)}< 0$, pour tout $x \in\left]\frac{\pi}2\ ;\, \pi\right]$
• Nous en déduisons, pour tout $x \in\left]\frac{\pi}2\ ;\, \pi\right]$ :

$$\cos{(x)} < 0 \Leftrightarrow \sin^{\prime} {(x)}<0$$

• En conclusion, la fonction sinus :
• est strictement croissante sur l’intervalle $[0\ ;\, \frac{\pi}2[$,
• admet un maximum en $x=\frac{\pi}2$, égal à $\sin \left(\frac{\pi}2\right) =1$,
• est strictement décroissante sur l’intervalle $]\frac{\pi}2\ ;\,\pi]$.
• Nous pouvons maintenant tracer le tableau de variations de la fonction sinus, ainsi que sa courbe représentative sur $[0\ ;\,\pi]$.

Étude sur l’intervalle $\mathbb R$ grâce à la parité et à la périodicité

• Parité de la fonction sinus

L’ensemble de définition de la fonction sinus est $\mathbb{R}$, qui est bien un ensemble symétrique par rapport à $0$.

Avec $f$ la fonction sinus, on a pour tout nombre réel $x$ :

$$f(-x) = \sin{(-x)} = -\sin{(x)} = -f(x)$$

• La fonction sinus est impaire.

Propriété

La courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle $[-\pi\ ;\,\pi]$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[0\ ;\,\pi]$.

• Périodicité de la fonction sinus

Nous savons que, pour tout nombre réel $x$ :

$$f(x+2\pi)=\sin{(x+2\pi)}=\sin{(x)} =f(x)$$

• Donc la fonction sinus est périodique de période $2\pi$.

Propriété

La courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur $2 \pi \vec \imath$.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur $\mathbb{R}$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[-\pi\ ;\,\pi]$.

Rappel

La courbe représentative de la fonction sinus est également appelée sinusoïde.

Limites particulières, équations et inéquations trigonométriques

Limites

Grâce aux études de la partie précédente, nous voyons que les valeurs de cosinus et sinus varient entre $-1$ et $1$.

À retenir

Ainsi, les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en l’infini.

Nous pouvons néanmoins définir deux limites particulières :

• $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{(x)}} x= 1$ ;
• $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos{(x)}-1} x= 0$.

Ces derniers résultats sont à connaître, mais nous pouvons les retrouver grâce à la définition du nombre dérivé.

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac {\sin(x)}{x}&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{(0+x)}-\sin{(0)}} {x} \\ &= \sin^{\prime} {(0)} \\ &=\cos{(0)} \\ &= 1 \end{aligned}$$

• Il s’agit du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus au point d’abscisse $0$.

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos{(x)}-1} x &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos{(0+x)}-\cos{(0)}} x \\ &= \cos^\prime {(0)} \\ &= -\sin{(0)} \\ &= 0 \end{aligned}$$

• Il s’agit du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction cosinus au point d’abscisse $0$.

Composée de fonctions

Nous allons donner les dérivées pour les fonctions composées avec une fonction trigonométrique.

Propriété

Soit $a$ et $b$ deux réels.
Les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par $f(x)=\cos{(ax+b)}$ et $g(x)=\sin{(ax+b)}$ sont dérivables sur $\mathbb R$ et, pour tout nombre réel $x$ :

• $f^{\prime}(x)= - a \sin{(ax+b)}$ ;
• $g^{\prime}(x)=a \cos{(ax+b)}$.

Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, les fonctions définies par $f(x)=\cos\big(u(x)\big)$ et $g(x)=\sin\big(u(x)\big)$ sont dérivables sur $I$ et on a :

• $f^{\prime}(x)= -u^{\prime}{(x)} \sin\big(u(x)\big)$ ;
• $g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\cos\big(u(x)\big)$.

Exemple

• La fonction $f$ définie par $f(x)=\cos{(4x-2)}$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on a :

$$f^{\prime} (x)= - 4\sin{(4x-2)}$$

• La fonction $g$ définie par $g(x)=\sin\left(\frac 1x\right)$ est dérivable sur $\mathbb R^*$ et on a ∶

$$g^{\prime} (x)=-\dfrac 1{x^2} \cos\left(\dfrac 1x\right)$$

Équations et inéquations trigonométriques

Dans cette dernière partie, nous allons découvrir, à travers des exemples, comment nous pouvons résoudre des équations et des inéquations où les fonctions trigonométriques entrent en jeu.

• Exemple d’équation trigonométrique

Exemple

Nous allons résoudre l’équation $\cos{(x)} = -\frac 12$ sur l’intervalle $]-\pi\ ;\,\pi]$.

Il est possible d’utiliser la représentation graphique de la fonction cosinus. Il suffit de relever, dans l’intervalle qui nous intéresse, les points dont l’ordonnée est égale à $-\frac 12$.

• Leurs abscisses sont les solutions de l’équation $\cos{(x)} = -\frac 12$.

Il est toutefois plus facile d’utiliser le cercle trigonométrique.

Dans l’intervalle $]-\pi\ ;\,\pi]$, on peut lire les solutions :

$$\cos{(x)}=- \dfrac 12\Leftrightarrow \begin{cases} x=-\dfrac{2\pi}{3} \\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ou}}} \\ x=\dfrac{2\pi}{3} \end{cases}$$

• $S = \left\lbrace -\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\dfrac{2\pi}{3}\right\rbrace$

Remarque :
On procède de manière analogue, en utilisant le cercle trigonométrique, pour résoudre par exemple l’équation $\sin{(x)}= -\frac 12$.

Exemple d’inéquation trigonométrique

Exemple

Nous allons résoudre l’inéquation $\cos{(x)} \leq -\frac 12$ sur l’intervalle $]-\pi\ ;\,\pi ]$.

Utilisons, là aussi, le cercle trigonométrique.

Les solutions se lisent, dans l’ordre croissant :

• d’une part, l’intervalle $\left] -\pi\ ;\,-\frac{2\pi}{3} \right]$, où $-\pi$ est exclus car l’étude est limitée à l’intervalle $]-\pi\ ; \pi ]$ ;
• d’autre part, l’intervalle $\left[\frac{2\pi}{3}\ ;\,\pi \right]$.
• $S = \left]-\pi\ ;\,-\dfrac{2\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\pi \right]$

Remarque :
On procède de manière analogue pour résoudre une inéquation avec la fonction sinus.