Fiche de révision : Fonctions cosinus et sinus

Fonction cosinus

• La fonction $x \mapsto \cos{(x)}$ est définie sur $\mathbb{R}$.
• La fonction cosinus est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$.
• Pour tout réel $x$ : $\cos^{\prime} {(x)} = -\sin{(x)}$.
• Tableau de variations et courbe représentative sur $[0\ ;\,\pi]$ :

• La fonction cosinus est paire.
• Pour tout réel $x$ : $f(-x) = \cos{(-x)} = \cos{(x)} = f(x)$.
• La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$.
• Pour tout réel $x$ réel : $f(x+2\pi)=\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)} =f(x)$.
• Courbe représentative :

Fonction sinus

• La fonction $x \mapsto \sin{(x)}$ est définie sur $\mathbb{R}$.
• La fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$.
• Pour tout réel $x$ : $\sin^{\prime} {(x)} = \cos{(x)}$.
• Tableau de variations et courbe représentative sur $[0\ ;\,\pi]$ :

• La fonction sinus est impaire.
• Pour tout réel $x$ : $f(-x) = \sin{(-x)} = -\sin{(x)} = -f(x)$.
• La fonction sinus est périodique de période $2\pi$.
• Pour tout réel $x$ : $f(x+2\pi)=\sin{(x+2\pi)}=\sin{(x)} =f(x)$.
• Courbe représentative :

Limites particulières, équations et inéquations trigonométriques

• Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en l’infini.
• Nous pouvons définir deux limites particulières :
• $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{(x)}} x= 1$ ;
• $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos{(x)}-1} x= 0$.
• Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, les fonctions définies par $f(x)=\cos\big(u(x)\big)$ et $g(x)=\sin\big(u(x)\big)$ sont dérivables sur $I$ :
• $f^{\prime}(x)= -u^{\prime}{(x)} \sin\big(u(x)\big)$ ;
• $g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\cos\big(u(x)\big)$.
• Pour résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique, nous utilisons la courbe représentative de la fonction concernée ou, plus simplement, nous utilisons le cercle trigonométrique.
• Par exemple, pour les résolutions suivantes avec la fonction cosinus :