Cours : Fonctions trigonométriques

Repérage sur le cercle trigonométrique

Enroulement de la droite numérique

Avant de rentrer dans le vif du sujet et de parler de repérage sur le cercle trigonométrique, nous allons commencer par rappeler la définition de ce cercle.

Définition

Cercle trigonométrique :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,)$, le cercle trigonométrique est le cercle $\mathscr C$ de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct.

Exemple :

Dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,)$, on considère le cercle trigonométrique et $d$ la droite numérique graduée, tangente au cercle au point $I$.

• Le zéro de la droite numérique coïncide avec le point $I$.

Quand on enroule, sur le cercle $\mathscr C$, la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct et la demi-droite bleue des réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel $x$ vient s’appliquer sur un unique point $M$ du cercle $\mathscr C$.

• On dit que $M$ est l’image de $x$ sur le cercle trigonométrique.

Réciproquement, tout point $M$ du cercle est l’image d’une infinité de réels.

• Si $x$ est l’un de ces réels, les autres sont les réels de la forme $x+2kπ$, où $k$ est un entier relatif.
  Cela résulte du fait que le périmètre de $\mathscr C$ est égal à $2π$.

Ainsi, le point $J$, par exemple, est associé à : $\fracπ2$ ; $\fracπ2+2π=\frac{5π}{2}$ ; $\fracπ2+4π=\frac{9π}{2}$… mais aussi à : $-\frac{3π}2$ ; $-\frac{7π}2$…

Le radian

Définition

Radian :

Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radians d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon $1$.

Exemple :
Sur cette figure, la longueur de l’arc $\overset{\displaystyle\frown}{IU}$ est égale à $1$ et la mesure de l’angle $\widehat{IOU}$ est égale à $1$ radian.

On peut convertir les mesures des angles de degrés en radians ou, inversement, de radians en degrés.

Propriété

Les mesures des angles en degrés, d’une part, et en radians, d’autre part, sont proportionnelles.

On a le tableau de conversion suivant :

Astuce

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\frac{π}{180}$ et inversement, pour passer des radians aux degrés, on multiplie par $\frac{180}\pi$.

Mesure principale d’un angle

Définition

Mesure principale d’un angle :

Soit $M$ un point du cercle trigonométrique.

Le réel $x$ d’image $M$ est appelé mesure en radians de l’angle $\widehat{IOM}$.

Tous les réels ayant pour image $M$ sont aussi des mesures en radians de l’angle $\widehat{IOM}$. Toutes ces mesures sont de la forme $x+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.

Parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle $]-\pi\ ; \pi]$ est appelée mesure principale de l’angle $\widehat{IOM}$.

Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définition

Définition

Cosinus et sinus d’un nombre réel :

Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$ :

• Le cosinus du réel $x$, noté $\cos x$, est l’abscisse du point $M$ dans le repère $(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,)$.
• Le sinus du réel $x$, noté $\sin x$, est l’ordonnée du point $M$ dans le repère $(O\ ;\ \vec\imath\ ;\ \vec\jmath\,)$.

Exemple :
Le point $M$ a pour coordonnées $M(\cos x\ ;\ \sin x )$.

À chaque réel $x$, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.

Le tableau suivant regroupe les valeurs particulières des cosinus et sinus :

Propriété

• Pour tout nombre réel $x$ :

$\begin{array}{rcccl} &-1&≤&\cos x &≤&1 \\ &-1&≤&\sin x &≤&1 \end{array}$

• Pour tout nombre réel $x$ :

$\cos^2\ x +\sin^2\ x =1$

Cosinus et sinus d’angles associés

Les formules suivantes sont à retenir ou à savoir retrouver à partir du cercle trigonométrique :

Lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle

• Dans le triangle rectangle $OBM$, on a :

$\cos \widehat{BOM}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{OB}{OM}$

Or, $OM$ est un rayon du cercle trigonométrique, donc $OM=1$.

D’où : $\cos \widehat{BOM}=\dfrac{OB}{1}=OB=\cos x$

• On retrouve la même valeur pour $\cos x$ avec le cercle trigonométrique que pour $\cos \widehat{BOM}$ avec la trigonométrie dans le triangle rectangle.
• De même, dans le triangle rectangle $OBM$, on a :

$\sin \widehat{BOM}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{BM}{OM}=\dfrac{OC}{OM}$

Or, $OM$ est un rayon du cercle trigonométrique, donc $OM=1$.

D’où : $\sin \widehat{BOM}=\dfrac{OC}{1}=OC=\sin x$

• On retrouve la même valeur pour $\sin x$ avec le cercle trigonométrique que pour $\sin \widehat{BOM}$ avec la trigonométrie dans le triangle rectangle.

Fonctions cosinus et sinus

Étude la fonction cosinus

Définition

Fonction cosinus :

La fonction qui, à tout réel $x$, associe le cosinus de $x$ est appelée fonction cosinus. La fonction $x \mapsto \cos(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$.

• Étude sur l’intervalle $[0\ ;\ \pi]$

Nous avons vu précédemment le tableau des valeurs remarquables suivant :

À l’aide de la formule $\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin(x)$, nous obtenons les résultats suivants :

• $\cos(\frac{2\pi}{3})=\cos(\frac{4\pi}{6})=\cos(\frac{3\pi+\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6})=-\sin(\frac{\pi}{6}) =-\frac{1}{2}$
• $\cos(\frac{3\pi}{4})=\cos(\frac{2\pi+\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})=-\sin(\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos(\frac{5\pi}{6})=cos(\frac{3\pi+2\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=-sin(\frac{\pi}{3}) =-\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos(\pi)=\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})=-\sin(\frac{\pi}{2})=-1$

Nous pouvons compléter le tableau précédent :

Nous en déduisons la courbe représentative de la fonction cosinus sur l’intervalle $[0\ ; \pi]$.

• Étude sur l’intervalle $[-\pi \ ; \pi ]$ à l’aide de la parité

Nous l’avons vu plus haut, nous savons que pour tout nombre réel $x$ : $\cos(-x)=\cos(x)$.

• On dit alors que la fonction cosinus est paire.

À retenir

Une fonction $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$, pour tout $x\in D_f$ tel que $-x\in D_f$.

Une fonction $f$ est impaire si $f(-x) = - f(x)$, pour tout $x\in D_f$ tel que $-x\in D_f$.

Propriété

La courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère. C’est une propriété des fonctions paires.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle $[-\pi\ ; \pi]$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[0\ ; \pi]$.

• Étude sur l’ensemble des nombres réels à l’aide de la périodicité

Par définition, nous avons pour tout nombre réel $x$ : $\cos( x+2\pi)=\cos(x)$.

• On dit alors que la fonction cosinus est périodique de période $2\pi$.

Propriété

La courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur $2\pi\vec\imath$.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur $\mathbb{R}$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[-\pi\ ; \pi]$.

La courbe représentative de la fonction cosinus est également appelée sinusoïde.

Étude de la fonction sinus

Définition

Fonction sinus :

La fonction qui, à tout réel $x$, associe le sinus de $x$ est appelée fonction sinus. La fonction $x \mapsto \sin(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$.

• Étude sur l’intervalle $[0\ ; \pi]$

Nous avons vu précédemment le tableau des valeurs remarquables suivant :

À l’aide de la formule $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$, nous obtenons les résultats suivants :

• $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi + \pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) =\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{2\pi + \pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) =\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi + 2\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) =\frac{1}{2}$
• $\sin(\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Nous pouvons compléter le tableau précédent :

Nous en déduisons la courbe représentative de la fonction sinus sur l’intervalle $[0\ ; \pi]$.

• Étude sur l’intervalle $[-\pi \ ; \pi ]$ à l’aide de la parité

Nous l’avons vu plus haut, nous savons que pour tout nombre réel $x$ : $\sin(-x) = -\sin(x)$.

• On dit alors que la fonction sinus est impaire.

Propriété

La courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine $0$ du repère. C’est une propriété des fonctions impaires.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle $[-\pi\ ; \pi]$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[0\ ; \pi]$.

• Étude sur l’ensemble des nombres réels à l’aide de la périodicité

Par définition, nous avons pour tout nombre réel $x$ : $\sin( x+2\pi)=\sin(x)$.

• On dit alors que la fonction sinus est périodique de période $2\pi$.

Propriété

La courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur $2\pi\vec\imath$.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur $\mathbb{R}$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[-\pi\ ; \pi ]$.

• La courbe représentative de la fonction sinus est également appelée sinusoïde.