Cours : Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, limites et inéquations trigonométriques

Rappel

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{i}\ ;\vec{j})$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1.

Si $M$ est un point du cercle trigonométrique et si $\alpha$ est un nombre réel tel qu’une mesure de l’angle $(\vec{i}\ ;\vec{OM})$ soit égale à $\alpha$ radians, alors :

• le cosinus de l’angle $\alpha$ est l’abscisse du point $M$ : cette valeur se note $\text{cos}\ \alpha$
• le sinus de l’angle $\alpha $ est l’ordonnée du point $M$ : cette valeur se note $\text{sin} :\alpha $.

Quelques valeurs particulières des cosinus et sinus sont à retenir car elles permettent de résoudre rapidement des équations et inéquations trigonométriques.

Étude de la fonction sinus

Définition

Fonction sinus :

La fonction qui, à tout réel $x$, associe le sinus de $x$ est appelée fonction sinus. $x \to \text{sin} (x)$est définie sur $\mathbb{R}$.

Dérivabilité de la fonction sinus

Propriété

• La fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $\text{sin'}(x)=\text{cos}(x)$

Étude sur l’intervalle $[0\ ; \pi ]$

Pour réaliser une étude de fonction, il faut :

• dériver la fonction ;
• étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction.

Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ on sait que $\text{sin'}(x)=\text{cos}(x)$

Or, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; {\pi \over 2} ]$ : $\text{cos} (x )\geq 0$

• La fonction sinus est donc croissante sur $[0\ ; {\pi \over 2} ]$

Et pour tout réel $x$ de l’intervalle $[ {\pi \over 2}\ ; \pi ]$ : $\text{cos} (x )\leq 0$

• La fonction sinus est donc décroissante sur $[ {\pi \over 2}\ ; \pi ]$

On en déduit donc le tableau de variations de la fonction sinus ainsi que sa courbe représentative sur $[0\ ; \pi ]$ :

Parité, périodicité et courbe représentative

• Parité de la fonction sinus

L’ensemble de définition de la fonction sinus est $\mathbb{R}$, qui est un ensemble symétrique par rapport à 0.

On a pour tout nombre réel $x$ : $$f(-x) = \text{sin}(-x) = \text{- sin} (x) = -f(x)$$

• On dit alors que la fonction sinus est impaire.

À retenir

Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$

Une fonction est impaire si $f(-x) = - f(x)$

Propriété

La courbe représentative $C$ de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine $0$ du repère.

À l’aide de cette propriété, on peut prolonger la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ à l’intervalle $[-\pi\ ; \pi ]$.

• Périodicité de la fonction sinus

On a pour tout nombre réel $x$ : $$f(x+2\pi)=\text{sin} ( x+2\pi)=\text{sin} (x) =f(x)$$

• On dit alors que la fonction sinus est périodique de période $2\pi$.

Propriété

La courbe représentative $C$ de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur $2 \pi {\vec i }$.

À l’aide de cette propriété, on peut prolonger sur $\mathbb{R}$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[-\pi\ ; \pi ]$.

La courbe représentative de la fonction sinus est également appelée sinusoïde.

Étude de la fonction cosinus

Définition

La fonction cosinus :

La fonction qui à tout réel $x$ associe le cosinus de $x$ est appelée fonction cosinus. $x \to \text{cos} (x)$ est définie sur $\mathbb{R}$.

Dérivabilité de la fonction cosinus

Propriété

• La fonction cosinus est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $$\text{cos'}(x) = -\text{sin} (x)$$

Étude sur l’intervalle $[0\ ; \pi ]$

Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ on sait que $\text{cos'}(x) = \text{- sin}(x)$

Or, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ : $\text{sin} (x )\geq 0$ donc $\text{-sin} (x )\leq 0$

La fonction sinus est donc décroissante sur $[0\ ; \pi ]$.

On en déduit donc le tableau de variations de la fonction cosinus ainsi que sa courbe représentative sur $[0\ ; \pi ]$ :

Parité, périodicité et courbe représentative

• Parité de la fonction cosinus

L’ensemble de définition de la fonction cosinus est $\mathbb{R}$, qui est bien un ensemble symétrique par rapport à 0.

On a pour tout nombre réel $x$ : $$f(-x) = \text{cos}(-x) = \text{cos} (x) = f(x)$$

• On dit alors que la fonction cosinus est paire.

Propriété

La courbe représentative $C$ de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

À l’aide de cette propriété, on peut prolonger la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ à l’intervalle $[-\pi\ ; \pi ]$

• Périodicité de la fonction cosinus

On a pour tout nombre réel $x$ : $$f(x+2\pi)=\text{cos} ( x+2\pi)=\text{cos} (x) =f(x)$$

• On dit alors que la fonction cosinus est périodique de période $2\pi$.

Propriété

La courbe représentative $C$ de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur $2 \pi {\vec i }$.

À l’aide de cette propriété, on peut prolonger sur $\mathbb{R}$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[-\pi\ ; \pi ]$.

La courbe représentative de la fonction cosinus est également appelée sinusoïde.

Limites et inéquations trigonométriques

À retenir

• Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en l’infini.
• $\lim\limits_{x \to 0}{ {\text{sin} (x)\over x} }= 1$

Ce dernier résultat est à connaître, mais on peut le retrouver grâce à la définition du nombre dérivé :

$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac {\sin(x)}{x}&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(0+x)-\sin(0)} {x} \\ &= \sin^{\prime} (0) \\ &=\cos(0) \\ &= 1 \end{aligned}$

• Il s’agit du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus au point d’abscisse $0$.

Exemple

Résolution d’une inéquation trigonométrique

On cherche à résoudre $\sin(x)<0,5$ sur $]-\pi\ ; \pi ]$ puis sur $[0\ ;2 \pi [$.

Il est possible d’utiliser la représentation graphique de la fonction sinus, en ne conservant que les points dont l’ordonnée est strictement inférieure à -0,5 . Leurs abscisses sont les solutions de l’inéquation $\sin(x)<0,5$.

Mais il est plus facile d’utiliser le cercle trigonométrique.

Dans $]-\pi\ ; \pi ]$, les solutions se lisent : $$S = \Bigg]{-5\pi \over 6}\ ; {-\pi \over 6} \Bigg[$$

Dans $[0\ ;2 \pi [$, les solutions se lisent : $$S = \Bigg]{7\pi \over 6}\ ; {11\pi \over 6} \Bigg[$$