Fiche de révision : Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, limites et inéquations trigonométriques

Valeurs particulières dans le cercle trigonométrique

La fonction sinus

Définition : fonction sinus

La fonction qui, à tout réel $x$, associe le sinus de $x$ est appelée fonction sinus. $x\to {\sin\ x}$ est définie sur $\mathbb{R}$.

Propriétés : fonction sinus

• La fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $\sin' x =\cos\ x$
• La fonction sinus est croissante sur $[0\ ; \dfrac{\pi}{2}]$ et décroissante sur $[\dfrac {\pi}{2}\ ;\pi]$

Propriétés : courbe représentative de la fonction sinus

• La fonction sinus est impaire : $$f(-x)=\sin (-x) =-\sin (x) =-f(x)$$
• La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.
• La courbe représentative de la fonction sinus est invariante par la translation de vecteur $2\pi\overrightarrow{i}$ ; on dit aussi que la fonction sinus est périodique de période $2π$.

Propriété : limite remarquable avec la fonction sinus

$\lim\limits_{x \to 0}\big(\dfrac{\sin\ x}{x}\big)= 1$

On peut retrouver ce résultat grâce à la définition du nombre dérivé :

$\lim\limits_{x \to 0}\big(\dfrac{\sin\ x}{x}\big) = \lim\limits_{x \to 0}\big(\dfrac{\sin\ {x-1}}{x-1}\big)=\sin'\ x=\cos\ x$

Fonction cosinus

Définition : fonction cosinus

La fonction qui à tout réel $x$ associe le cosinus de $x$ est appelée fonction cosinus. $x\to{\cos\ x}$ est définie sur $\mathbb{R}$.

Propriétés : fonction cosinus

• La fonction cosinus est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $\cos' x =-\sin\ x$.
• La fonction cosinus est décroissante sur $[0\ ; \pi]$.

Propriétés : courbe représentative de la fonction cosinus

• La fonction cosinus est paire : $$f(-x)=\cos\ (-x) =\cos\ (x) =f(x)$$
• La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• La courbe représentative de la fonction sinus est invariante par la translation de vecteur $2\pi\overrightarrow{i}$ ; on dit aussi que la fonction sinus est périodique de période $2\pi$.