Rappel :
Le module d’un nombre complexe
z=a+ib est le nombre réel
r=(a2+b2).
Argument d’un nombre complexe
Définition : Argument d’un nombre complexe
Soit z=a+ib un nombre complexe non nul et M le point d'affixe z.
Un argument de z noté θ=arg(z) est une mesure de l’angle orienté (u,OM) en radians.
Propriétés :
Soit A,B,C etD quatre points distincts d’affixes respectives zA, zB, zC et zD
On a alors :
(u,AB)=arg(zB−zA)
(AB,CD)=arg(zB−zAzD−zC)
Propriétés :
Soit k∈Z :
- arg(−z)=−arg(z)+2kπ
- arg(zˉ)=−arg(z)+2kπ
- arg(zz′)=arg(z)+arg(z′)+2kπ
- arg(zn)=narg(z)+2kπ
- arg(z′z)=arg(z)−arg(z′)+2kπ (k∈Z)
Définition : Forme trigonométrique
Pour tout nombre complexe z non nul, z=r(cosθ+isinθ) avec r=∣z∣ et θ=arg(z)
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Propriété : Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
z=a+ib=r(cos(θ)+isin(θ))⇒{a=rcos(θ)b=rsin(θ)
Propriétés :
Pour tout réel θ on pose eiθ=cosθ+isinθ (admis)
- eiθeiθ′=ei(θ+θ′)
- (eiθ)n=eniθ
- eiθ1=e−iθ
- eiθ′eiθ=ei(θ−θ′)
- eiθ=e−iθ
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧cos(θ)=2eiθ+e−iθsin(θ)=2ieiθ−e−iθ