Cours : Fractions : définition, décomposition et encadrement

Écriture fractionnaire d’un quotient

Définition

Définition

Écriture fractionnaire d’un quotient :

Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers (avec $b$ non nul), le quotient de la division décimale de $a$ par $b$ est noté $a \div b$.

En écriture fractionnaire, ce quotient est noté $\dfrac{a}{b}$.

• $a$ est le numérateur de la fraction ;
• et $b$ son dénominateur.

Par définition, $\dfrac{a}{b}$ est le quotient du nombre $a$ par le nombre $b$, c'est-à-dire le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$ : $$\frac{a}{b} \times b = a$$

Exemple

Le quotient de la division décimale de $3$ par $4$ est $3\div 4 = \dfrac{3}{4}$

$\frac {3}{4}$ est donc le nombre qui multiplié par $4$ donne $3$ :
$$\frac{3}{4} \times 4 = 3$$

Lien avec les nombres décimaux

Une fraction étant un nombre, nous pouvons dans certains cas la lier à un nombre décimal auquel elle est égale.

Passage d’un nombre décimal à une fraction

Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction de dénominateur $10$, $100$, $1\ 000$, etc.

• Par exemple : $20,19 = 2019\div 100$ = $\dfrac{2\ 019}{100}$

Passage d’une fraction à un nombre décimal

La fraction $\dfrac{a}{b}$ ($a$ et $b$ deux nombres entiers avec $b$ non nul) est égale au quotient $a \div b$.

Il existe ensuite deux possibilités.

• La division décimale de $a$ par $b$ s’arrête.
• La fraction $\dfrac{a}{b}$ est alors égale au quotient de cette division qui est un nombre décimal.

Par exemple : $\dfrac{19}{4} = 19 \div 4 = 4,75$

• La division décimale de $a$ par $b$ ne s’arrête pas.
• La fraction $\dfrac{a}{b}$ ne peut alors pas être égale à un nombre décimal.

Par exemple : $\dfrac{5}{3} = 5 \div 3 \approx 1,666…$ n’est pas égal à un nombre décimal.

Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

Demi-droite graduée

Définition

Demi-droite graduée :

Une demi-droite graduée est définie par une origine à laquelle on associe le nombre $0$ et par une unité de longueur qui est associée à $1$. Elle a également un sens positif.

À partir de l’unité de longueur d’une demi-droite graduée, on peut définir une graduation avec des nombres entiers, décimaux ou avec des fractions.

Définition

Abscisse :

Sur une demi-droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse de ce point.

L’abscisse du point $A$ est $3$. On le note ainsi : $A(3)$.

Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

Lire une abscisse fractionnaire

Sur cette demi-droite graduée, on peut voir que l’unité est sous-divisée en $4$ graduations.
Chaque graduation correspond donc à $\dfrac{1}{4}$.

• L’abscisse du point $A$ est $\frac{1}{4}$ car le point $A$ est situé sur la première graduation à partir de $0$ (on ne compte pas la graduation $0$).
• On note donc $A(\frac{1}{4})$.
• L’abscisse du point $B$ est $\frac{7}{4}$ car le point $B$ est situé sur la septième graduation à partir de $0$ (on ne compte pas la graduation $0$).
• On note donc $B(\frac{7}{4})$.
• L’abscisse du point $C$ est $\frac{12}{4} = 3$ car le point $C$ est situé sur la douzième graduation à partir de $0$ (on ne compte pas la graduation $0$).
• On note donc $C(3)$.

Placer une abscisse fractionnaire

On souhaite placer les points $A(\frac{2}{3})$ et $B(\frac{8}{3})$ sur une demi-droite graduée.

Nous cherchons à placer des fractions ayant pour dénominateur $\blue 3$, nous devons donc graduer la demi-droite de $\frac{1}{\blue 3}$ en $\frac{1}{\blue 3}$, c'est-à-dire diviser chaque unité en $\blue 3$ graduations de même longueur.

Sur cette demi-droite graduée :

• le point $A(\frac{\green 2}{\blue 3})$ est situé sur la deuxième graduation à partir de $0$ ;
• le point $B(\frac{\green 8}{\blue 3})$ est situé sur la huitième graduation à partir de $0$.

Nous obtenons donc la demi-droite graduée suivante :

Décomposer une fraction

Nous allons maintenant voir que l’on peut décomposer une fraction en somme d’un nombre entier et d’une fraction strictement inférieure à $1$.

Prenons pour exemple la fraction $\dfrac{19}{4}$.

Par le calcul

• Pour décomposer une fraction, on doit chercher le plus grand multiple du dénominateur qui soit inférieur au numérateur.

On cherche ici le plus grand multiple de $\blue 4$ qui soit inférieur à $\green {19}$.

Les multiples de $\blue {4}$ sont :

$\begin{array}{ll}&1\times 4 = 4 &&→ 4 <\green {19}&\\ &2\times \blue {4} = 8 &&→ 8 <\green {19}&\\ &3\times \blue {4} = 12 &&→ 12 <\green {19}&\\ &4\times \blue {4} = 16 &&→ 16 <\green {19}&\\ &5\times \blue {4} = 20 &&→ 20 >\green {19}&\end{array}$

• Le plus grand multiple de $\blue 4$ qui soit inférieur à $\green {19}$ est donc $4 \times \blue{4} = \red{16}$ car $5\times \blue{4}=20 > \green{19}$.
• On calcule maintenant la différence entre le multiple obtenu et le numérateur.

$\green{19}-\red{16}=\purple 3$ donc $\green{19} = \red{16} + \purple 3$

Donc $\dfrac{\green {19}}{\blue{4}} = \dfrac{\red{16}+\purple{3}}{\blue{4}} = \dfrac{\red{16}}{\blue{4}} + \dfrac{\purple 3}{\blue 4} = 4 + \dfrac{\purple 3}{\blue 4}$

• $4$ est un nombre entier.
• $0 \leq \dfrac{3}{4} < 1$ donc $\dfrac{3}{4}$ est strictement inférieur à $1$.
• L’écriture de la fraction $\dfrac{19}{4}$ sous forme de la somme d’un entier et d’une fraction strictement inférieure à $1$ est :

$$\frac{19}{4} = 4 + \frac{3}{4}$$

Avec une demi-droite graduée

• Pour placer une fraction sur une demi-droite graduée, on doit graduer la demi-droite en divisant chaque unité par le dénominateur.

Pour placer $\dfrac{\green{19}}{\blue{4}}$, nous devons graduer une demi-droite en divisant chaque unité en $\blue 4$.

La demi-droite sera donc graduée de $\dfrac {1}{\blue{4}}$ en $\dfrac {1}{\blue{4}}$.

• On place ensuite la fraction sur la demi-droite graduée en s’éloignant du $0$ d’autant de graduations que l'indique le numérateur.

On place le point $A$ d’abscisse $\dfrac{\green{19}}{\blue{4}}$ à la dix-neuvième graduation.

• Pour obtenir la décomposition de la fraction, on lit sur la demi-droite l’unité qui précède la fraction. Cette unité est le nombre entier de la décomposition. Pour déterminer la fraction de la décomposition, on calcule le nombre de gradations restantes pour atteindre l’abscisse de la fraction. Ce nombre sera le numérateur de la fraction. Le dénominateur, lui, sera le même que celui de la fraction de base.

Nous observons ici que le point $A$ est situé trois graduations après le point d’abscisse $4$.

• Nous avons donc : $\dfrac{\green{19}}{\blue{4}} = 4 + \dfrac{\purple{3}}{\blue{4}}$

Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs

Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, c’est écrire une double inégalité avec le nombre entier qui lui est inférieur et le nombre entier suivant qui lui est supérieur.

Par le calcul

Nous avons vu précédemment que $\dfrac{19}{4} = 4 + \dfrac{3}{4}$

Nous avons aussi vu que $4 < 4 + \dfrac{3}{4} < 5$ et donc que $4 < \dfrac{19}{4} < 5$.

• Sans utiliser la méthode précédente, nous pouvons encadrer $\green{19}$ (le numérateur de $\frac{\green{19}}{\blue{4}}$) par des multiples de $\blue 4$ (le dénominateur de $\frac{\green{19}}{\blue{4}}$) :

$$4\times \blue{4} < \green{19} < 5\times \blue{4}$$ $$\frac{4\times \blue{4}}{\blue{4}} < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < \frac{5\times \blue{4}}{\blue{4}}$$ $$4 < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < 5$$

Avec une demi-droite graduée

Si l’on place le point d’abscisse $\dfrac{\green{19}}{\blue{4}}$ sur une demi-droite graduée, nous pouvons observer directement l’encadrement de la fraction par deux nombres entiers consécutifs :

La fraction $\dfrac{\green{19}}{\blue{4}}$ est placée entre les repères d’unités $4$ et $5$.

• On peut donc en déduire l’encadrement de cette fraction :

$$4 < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < 5$$