Fiche de révision : Fractions : définition, décomposition et encadrement

Écriture fractionnaire d’un quotient

• Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers (avec $b$ non nul), le quotient de la division décimale de $a$ par $b$ est noté $a \div b$.
• En écriture fractionnaire, ce quotient est noté $\dfrac{\green{a}}{\blue{b}}$.
  $a$ est le numérateur de la fraction et $b$ son dénominateur.
• Par définition, $\dfrac{a}{b}$ est le quotient du nombre $a$ par le nombre $b$, c'est-à-dire le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$ :

$$\dfrac{a}{b} \times b = a$$

• Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction de dénominateur $10$, $100$, $1\ 000$, etc.
• La fraction $\dfrac{a}{b}$ ($a$ et $b$ deux nombres entiers avec $b$ non nul) est égale au quotient $a \div b$.
  Il existe ensuite deux possibilités :
• La division décimale de $a$ par $b$ s’arrête.
• La fraction $\dfrac{a}{b}$ est alors égale au quotient de cette division qui est un nombre décimal.
• La division décimale de $a$ par $b$ ne s’arrête pas.
• La fraction $\dfrac{a}{b}$ ne peut alors pas être égale à un nombre décimal.

Repérer une fraction sur une demi-droite graduée

• Une demi-droite graduée est définie par une origine à laquelle on associe le nombre $0$ et par une unité de longueur qui est associée à $1$. Elle a également un sens positif.
• À partir de l’unité de longueur d’une demi-droite graduée, on peut définir une graduation avec des nombres entiers, décimaux ou avec des fractions.
• Sur une demi-droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse de ce point.
• Pour lire une abscisse fractionnaire sur une demi-droite graduée, il faut savoir que l’unité est sous-divisée en $X$ graduation. Chaque graduation correspond donc à $\dfrac{1}{X}$

• Sur cette demi-droite graduée,
• L’abscisse du point $A$ est $\frac{1}{4}$ car le point $A$ est situé sur la première graduation à partir de $0$.
• L’abscisse du point $B$ est $\frac{7}{4}$ car le point $B$ est situé sur la septième graduation à partir de $0$.
• Pour placer une abscisse fractionnaire ayant pour dénominateur $\blue X$, il faut graduer la demi-droite de $\frac{1}{\blue X}$ en $\frac{1}{\blue X}$, c'est-à-dire diviser chaque unité en $\blue X$ graduations de même longueur.
• On souhaite placer le point $B(\frac{8}{3})$ sur une demi-droite graduée.
• le point $B(\frac{\green 8}{\blue 3})$ est situé sur la huitième graduation à partir de $0$.

Décomposer une fraction en somme d’un entier et d’une fraction strictement inférieure à $1$

Par le calcul

• On doit chercher le plus grand multiple du dénominateur qui soit inférieur au numérateur.
• On calcule la différence entre le multiple obtenu et le numérateur.
• L’écriture de la fraction sous forme de la somme d’un entier et d’une fraction strictement inférieure à $1$.

Avec une demi-droite graduée

• Pour placer une fraction sur une demi-droite graduée, on doit graduer la demi-droite en divisant chaque unité par le dénominateur.
• On place ensuite la fraction sur la demi-droite graduée en s’éloignant du $0$ d’autant de graduations que l'indique le numérateur.
• Pour obtenir la décomposition de la fraction, on lit sur la demi-droite l’unité qui précède la fraction et on lui ajoute le nombre de gradations restantes pour atteindre l’abscisse de la fraction sous forme d’une fraction au même dénominateur.

Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs

Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, c’est écrire une double inégalité avec le nombre entier qui lui est inférieur et le nombre entier suivant qui lui est supérieur.
Prenons pour exemple la fraction $\dfrac{\green {19}}{\blue 4}$.

• Par le calcul.
• Pour encadrer $\green{19}$ (le numérateur de $\frac{\green{19}}{\blue{4}}$) par des multiples de $\blue 4$ (le dénominateur de $\frac{\green{19}}{\blue{4}}$) :

$$4\times \blue{4} < \green{19} < 5\times \blue{4}$$ $$\frac{4\times \blue{4}}{\blue{4}} < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < \frac{5\times \blue{4}}{\blue{4}}$$ $$4 < \frac{\green{19}}{\blue{4}} < 5$$

• Avec une demi-droite graduée.
• Si l’on place le point d’abscisse $\dfrac{\green{19}}{\blue{4}}$ sur une demi-droite graduée, nous pouvons observer directement l’encadrement de la fraction par deux entiers consécutifs :

• La fraction $\dfrac{\green{19}}{\blue{4}}$ est placée entre les repères d’unités $4$ et $5$.
  On peut donc en déduire l’encadrement de cette fraction : $4 < \dfrac{\green{19}}{\blue{4}} < 5$