Géométrie dans l'espace

Introduction :

En seconde, outre la géométrie plane où on manipulera les fonctions de référence et les vecteurs, il faut aussi consolider les connaissances en géométrie dans l’espace.

Dans un premier temps nous verrons les positions relatives entre droites et plans, puis les propriétés qui permettent de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité et enfin, nous verrons la perspective cavalière et les formules de calcul d’aires et volumes.

Positions relatives de droites et de plans

Une droite est définie par deux points distincts. Elle est notée $(AB)$.

Définition

Plan :

Un plan est défini par trois points non alignés ; un plan est donc noté $(ABC) $.

Un plan peut aussi être défini par une droite et un point extérieur à cette droite ou par deux droites sécantes.

À retenir

Aussi, toute droite dont deux points distincts appartiennent à un plan $P$ est entièrement contenue dans ce plan.

Position relative de deux droites

Lorsqu’on demande la position relative entre deux droites, on veut savoir si elles sont coplanaires. Si c’est le cas, on voudra savoir si elles sont parallèles ou sécantes.

Définition

Droites coplanaires :

On dit que deux droites de l’espace sont coplanaires lorsqu’elles sont incluses dans un même plan.

Soit $D$ et $D'$ deux droites distinctes de l’espace.

Il existe trois possibilités, et trois seulement :

ou les droites $D$ et $D'$ n’ont aucun point commun et ne sont pas coplanaires ;
ou les droites $D$ et $D'$ n’ont aucun point commun et sont coplanaires ;
ou les droites $D$ et $D'$ ont un seul point commun.

Ce qui amène aux définitions suivantes :

Définition

Droites parallèles :

On dit que deux droites de l’espace sont parallèles lorsqu’elles sont coplanaires et n’ont aucun point commun, ou lorsqu’elles sont confondues.

$Alt texte$
Droites coplanaires parallèles (confondues)

Astuce

Lorsque deux droites de l’espace sont parallèles et n’ont aucun point en commun, on dit qu’elles sont strictement parallèles.

$Alt texte$ Droites coplanaires strictement parallèles

Définition

Droites sécantes :

Deux droites de l’espace sont sécantes lorsqu’elles ont un seul point commun.

$Alt texte$ Droites coplanaires sécantes

À retenir

Deux droites sécantes de l’espace définissent un plan et un seul.
Si deux droites de l’espace sont sécantes, alors elles sont coplanaires.
Si deux droites de l’espace ne sont pas coplanaires, alors elles n’ont aucun point commun.

$Alt texte$ Droites non coplanaires

Attention

Les réciproques des deux dernières remarques sont fausses :

deux droites qui ne sont pas sécantes peuvent être coplanaires ;
deux droites peuvent être coplanaires sans avoir de point commun.

Position relative de deux plans

Lorsqu’on demande la position relative entre deux plans, on veut savoir s’ils sont parallèles ou sécants. S’ils sont parallèles, il faudra bien préciser s’ils sont strictement parallèles ou confondus.

Soit $P$ et $P'$ deux plans distincts de l’espace.

Il n’existe que deux possibilités :

ou $P$ et $P'$ n’ont aucun point commun,
ou $P$ et $P'$ se coupent suivant une droite.

Définition

Plans parallèles :

On dit que deux plans sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun ou lorsqu’ils sont confondus.

$Alt texte$ Plans parallèles (confondus)

Astuce

Lorsque deux plans n’ont aucun point commun, on dit qu’ils sont strictement parallèles.

$Alt texte$ Plans strictement parallèles

Définition

Plans sécants :

On dit que deux plans sont sécants lorsqu’ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est donc une droite.

$Alt texte$ Plans sécants

Position relative d’une droite et d’un plan

Lorsqu’on demande la position relative entre une droite et un plan, on veut savoir s’ils sont parallèles ou sécants. S’ils sont parallèles, il faudra préciser s’ils sont strictement parallèles ou si la droite est incluse dans le plan.

Soient $P$ un plan et $D$ une droite de l’espace.

Il existe trois cas possibles :

ou la droite $D$ et le plan $P$ n’ont aucun point commun ;
ou la droite $D$ est incluse dans le plan $P$ ;
ou la droite $D$ et le plan $P$ ont un seul point commun.

Définition

Droite et plan parallèles :

On dit qu’une droite et un plan sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun ou lorsque la droite est incluse dans le plan.

$Alt texte$ Droite incluse dans le plan

Astuce

On peut remarquer que lorsqu’une droite et un plan n’ont aucun point commun, on dit qu’ils sont strictement parallèles.

$Alt texte$ Droite et plan strictement parallèles

Définition

Droite et plan sécants :

On dit qu’une droite et un plan sont sécants lorsqu’ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est alors un point.

$Alt texte$ Droite et plan sécants

Parallélisme et orthogonalité entre droites et plans

Théorèmes sur le parallélisme

Théorème

Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l’une coupe l’autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l’un coupe l’autre.
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors ces deux droites sont parallèles. Si deux plans sont parallèles à une même troisième alors ces deux plans sont parallèles.
Si une droite $D$ est parallèle à un plan $P$ alors tout plan $Q$ qui contient $D$ coupe le plan $P$ suivant une parallèle à $D$.
Les plans $P$ et $R$ sont parallèles. Ils coupent $Q$ suivant deux droites parallèles $D$ et $D'$. La droite $D''$ qui coupe $R$ coupe aussi $P$.

Théorèmes sur l’orthogonalité

De même que pour le parallélisme, l’orthogonalité est démontrable à partir de plusieurs théorèmes. Il faut donc choisir le plus approprié en fonction de l’énoncé.

Attention

Il faut faire la différence entre le mot perpendiculaire et le mot orthogonal.

Perpendiculaire veut dire qu’il y a une intersection qui forme un angle droit.
Orthogonal veut dire la même chose mais il n’y a pas d’intersection.

La nuance se fait donc dans l’espace.

Exemple

Soit le cube $ABCDEFGH$.

Les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires mais les droites $(AB)$ et $(FG)$ sont orthogonales.

$Alt texte$

Théorème

Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu’elle soit orthogonale à deux sécantes de ce plan, cette droite est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
Deux droites sont orthogonales si l’une des droites appartient à un plan perpendiculaire à l’autre.
Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Aires et volumes

Pour représenter une figure en trois dimensions sur un cahier qui est en deux dimensions, on utilise une technique particulière appelée la perspective cavalière.

Perspective cavalière

Cette façon de représenter les solides n’est pas compliquée mais il faut suivre quelques règles.

Les segments cachés sont représentés en pointillés.
Les segments visibles sont représentés en traits pleins.
Il y a conservation de l’alignement des points, de l’ordre des points et des rapports de longueurs sur un segment, ainsi que sur des segments parallèles.
Les figures situées dans le plan de face sont représentées en vraie grandeur (angles et longueurs éventuellement à l’échelle).
Tous les théorèmes de géométrie plane sont applicables à chaque plan de l’espace.

$Alt texte$ Cube en perspective cavalière

Formules à connaître

Formules d’aires dans le plan

Figure du plan	Formule de calcul d’aire	Abréviations
Rectangle	$A=L\times l$	$L$ longueur $l$ largeur
Carré	$A=c^2$	$c$ côté du carré
Losange	$A=\dfrac{D\times d}{2}$	$D$ longueur de la grande diagonale $d$ longueur de la petite diagonale
Parallélogramme	$A=L\times h$	$L$ longueur $h$ hauteur relative à $L$
Triangle	$A=\dfrac{b\times h}{2}$	$b$ base $h$ hauteur relative à $b$
Trapèze	$A=\dfrac{B+ b}{2}\times h$	$b$ petite base $B$ grande base $h$ hauteur (distance entre les bases) Les bases sont les côtés parallèles.
Cercle	$A=\pi\ r^2$	$r$ rayon du cercle

Formules de volumes dans l’espace

Figure du l’espace	Formule de calcul de volume	Abréviations
Pavé droit	$V=L\times l\times h$	$L$ longueur $l$ largeur $h$ hauteur
Cube	$V=c^3$	$c$ côté du cube
Prisme droit	$V=B\times h$	$B$ aire de la base $h$ hauteur relative à la base
Cylindre de révolution	$V=\pi\times r^2\times h$	$r$ rayon du cercle de la base $h$ hauteur relative à la base
Pyramide	$V=\dfrac{B\times h}{3}$	$B$ aire de la base $h$ hauteur relative à la base
Cône de révolution	$V=\dfrac{1}{3}\pi\ r^2\times\ h$	$r$ rayon du cercle de la base $h$ hauteur relative à la base
Boule	$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$	$r$ rayon de la boule

Formules d’aires latérales dans l’espace

Figure de l’espace	Formule de calcul d’aire latérale	Abréviations
Cylindre de révolution	$A=2\pi\ r\times h$	$r$ rayon du cercle de la base $h$ hauteur relative à la base
Cône de révolution	$A=\pi\ r\times g$	$r$ rayon du cercle de la base $g$ distance entre le sommet et un point du cercle de la base
Sphère	$A=4\ \pi r^2$	$r$ rayon de la sphère

Attention

Une sphère est creuse alors qu’une boule est pleine.

Cours : Géométrie dans l'espace

Positions relatives de droites et de plans

Position relative de deux droites

Position relative de deux plans

Position relative d’une droite et d’un plan

Parallélisme et orthogonalité entre droites et plans

Théorèmes sur le parallélisme

Théorèmes sur l’orthogonalité

Aires et volumes

Perspective cavalière

Formules à connaître