Cours : Géométrie : éléments de bases, propriétés des droites parallèles et perpendiculaires et médiatrice

Vocabulaire de géométrie

Droite, demi-droite et segment

Rappel

La droite qui passe par les points $A$ et $B$ est notée $(AB)$.
La demi-droite ayant pour origine le point $A$ et qui passe par le point $B$ est notée $[AB)$.
Le segment ayant pour extrémités les points $A$ et $B$ est noté $[AB]$.

À retenir

Des points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.
Ici, le point $C$ appartient à la droite $(AB)$, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

• Une droite est formée d'une infinité de points alignés.

Symboles $\in$ et $\notin$

À retenir

Pour noter si un point appartient ou non à une droite ou à un segment, on utilise respectivement les symboles $\in$ et $\notin$.

Le point $C$ appartient à la droite $(AB)$, on note donc : $C\in (AB)$.
Le point $C$ n’appartient pas au segment $[AB]$, on note donc : $C\notin [AB]$.

Positions relatives de droites

Définition

Droites sécantes :

Des droites sécantes sont des droites qui se coupent en un seul point (commun). Ce point est appelé « point d'intersection ».

Définition

Droites perpendiculaires :

Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes dont l’intersection forme un angle droit.

Propriété

Deux droites sont toujours soit sécantes, soit parallèles.

Si deux droites sont sécantes et qu’elles forment un angle droit, alors elles sont perpendiculaires.

Si deux droites sont parallèles, elles ne se couperont jamais, même si on les prolonge indéfiniment. Elles peuvent être soit confondues (et avoir une infinité de points communs), soit strictement parallèles (n'avoir aucun point commun).

On peut résumer cette classification des positions relatives de deux droites dans un tableau.

Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires

Propriété

Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

Si $\green{(d_1)} // \purple{(d_2)}$ et $\green{(d_1)} // \red{(d_3)}$, alors $\purple{(d_2)} // \red{(d_3)}$.

Propriété

Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Si $\green {(d_1)} // \purple {(d_2)}$ et $\green {(d_1)} \perp \red{(d_3)}$, alors $\purple {(d_2)}\perp \red{(d_3)}$.

Propriété

Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.

Si $\green {(d_1)} \perp \purple{(d_2)}$ et $\green {(d_1)} \perp \red{(d_3)}$, alors $\purple{(d_2)} // \red{(d_3)}$.

Tracé de droites parallèles et perpendiculaires

Tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point

On souhaite tracer la perpendiculaire à la droite $(d_1)$ passant par le point $A$.

• Si on note $H$ le point d’intersection des droites $(d_1)$ et $(d_2)$, la distance du point $A$ à la droite $(d_1)$ est la distance $AH$.

Tracé de la parallèle à une droite passant par un point

On souhaite tracer la parallèle à la droite $(d_1)$ passant par le point $A$.

Astuce

Il est également possible de tracer une droite $d_2$ passant par le point $A$ et parallèle à la droite $d_1$ en plaçant un point $B$ situé à la même distance de $d_1$ que le point $A$ et placé du même côté de la droite.

• La droite $d_2$ passant par les points $A$ et $B$ sera parallèle à la droite $d_1$.

Médiatrice d'un segment

Définition

Définition

Médiatrice :

La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment.

Dans le schéma ci-contre, $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$ :

• la droite $(d)$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu $I$ ;
• la droite $(d)$ est perpendiculaire au segment $[AB]$.

La médiatrice d'un segment peut être tracée à l'équerre et à la règle graduée ou au compas et à la règle graduée. Nous allons le voir en traçant la médiatrice d'un segment $[AB]$ de longueur $10\text{ cm}$.

Tracé avec l'équerre et la règle graduée

MÉTHODE

• Sur le segment $[AB]$ de longueur $10\text{ cm}$ déjà tracé, plaçons son milieu $I$ à la règle graduée.

• Plaçons l'équerre le long du segment $[AB]$ pour tracer la droite perpendiculaire au segment $[AB]$ passant par $I$.

• Prolongeons le tracé de la droite à l'aide de la règle : la droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

À retenir

Tracé au compas et à la règle

MÉTHODE

• À partir du segment $[AB]$ de longueur $10\text{ cm}$ déjà tracé, traçons quatre arcs de cercle de même rayon, à l'aide du compas : deux arcs de cercle de centre $A$ et deux arcs de cercle de centre $B$.

• Les deux points définis par les intersections des arcs de cercle permettent de tracer la médiatrice $(d)$ du segment $[AB]$ à la règle.
  La droite $(d)$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu et elle est perpendiculaire à ce segment.

À retenir

Propriété de la médiatrice

La médiatrice du segment $[AB]$ est l'ensemble des points équidistants des points $A$ et $B$.

Propriété

• Si un point $M$ est sur la médiatrice du segment $[AB]$, alors $MA = MB$ ($M$ est équidistant des points $A$ et $B$).
• Si un point $M$ vérifie l'égalité $MA = MB$, alors il est sur la médiatrice du segment $[AB]$.