Fiche de révision : Colinéarité, vecteur directeur et équation de droite

Condition de colinéarité de deux vecteurs

Définition :

On considère $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls.

Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si l’un est le produit de l’autre par un réel, c’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $\vec v=k\vec u$.

Le réel $k$ est le coefficient de colinéarité.

Propriété :

Soient $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère du plan.

Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire uniquement si $xy'-yx'=0$.

Applications de la colinéarité

Propriété :

• Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs ${\overrightarrow{AB}}$ et ${\overrightarrow{CD}}$ sont colinéaires.
• Trois points $A,B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs ${\overrightarrow{AB}}$ et ${\overrightarrow{AC}}$sont colinéaires.

La définition et les propriétés d’un vecteur directeur de droite

Définition :

Soit $D$ une droite et soit ${\overrightarrow{u}}$ un vecteur non nul du plan. On dit que ${\overrightarrow{u}}$ est un vecteur directeur de $D$ s’il existe deux points $A$ et $B$ de $D$ tels que ${\overrightarrow{u}}={\overrightarrow{AB}}$

Propriété :

Soit ${\overrightarrow{u}}$ un vecteur directeur d’une droite $d$. Le vecteur ${\overrightarrow{v}}$ est un vecteur directeur de la droite $d$ si et seulement si le vecteur ${\overrightarrow{v}}$ est non nul et colinéaire au vecteur ${\overrightarrow{u}}$.

Propriété :

Soient $D$ et $D'$ deux droites de vecteurs directeurs ${\overrightarrow{u}}$ et ${\overrightarrow{v}}$ . $D$ et $D'$ sont parallèles si et seulement si ${\overrightarrow{u}}$ et ${\overrightarrow{v}}$ sont colinéaires.

Caractérisation de l’appartenance d’un point à une droite

Propriété :

Soit $A$ un point du plan, ${\overrightarrow{u}}$ un vecteur non nul et $d$ la droite passant par $A$ de vecteur directeur ${\overrightarrow{u}}$. Un point $M$ appartient à la droite $d$ si et seulement si les vecteurs ${\overrightarrow{AM}}$ et ${\overrightarrow{u}}$ sont colinéaires.

Les équations cartésiennes de droites

Propriétés :

• Les coordonnées $(x\ ;y)$ de tous les points $M$ d’une droite $D$ vérifient une équation de la forme : $ax+by+c=0$ où $a,b$ et $c$ sont des réels avec $(a\ ;b) \neq (0\ ;0)$. Une telle équation s’appelle une équation cartésienne de D.
• Soient des réels $a,b$ et $c$ avec $(a\ ;b)\neq(0\ ;0)$. L’ensemble des points $M(x\ ;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ est une droite de vecteur directeur $\vec u \dbinom {-b}{a}$.

Décomposition d’un vecteur dans une base

Propriété :

On appelle base du plan vectoriel tout couple de deux vecteurs non colinéaires. Soient ${\overrightarrow{u}}$ et ${\overrightarrow{v}}$ deux vecteurs non colinéaires du plan.

Alors pour tout vecteur ${\overrightarrow{w}}$ du plan, il existe un unique couple de réels $(a\ ;b)$ tels que :

${\overrightarrow{w}}=a {\overrightarrow{u}}+b{\overrightarrow{v}}$

Cas particuliers :

$a$ et $b$ sont appelés coordonnées du vecteur ${\overrightarrow{w}}$dans la base $({\overrightarrow{u}},{\overrightarrow{v}})$.

• Pour tous points $A,\ B\text{ et }C$ du plan tels que $ABC$ est un triangle, la relation de Chasles se vérifie ${\overrightarrow{AC}}={\overrightarrow{AB}}+{\overrightarrow{BC}}$.

• Pour tous points $A,\ B,\ C\text{ et }D$ du plan tels que $ABCD$ est un parallélogramme, la règle suivante se vérifie ${\overrightarrow{AC}}={\overrightarrow{AB}}+{\overrightarrow{AD}}$.