Fiche de révision : Géométrie repérée

Colinéarité de deux vecteurs

• Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls :
• $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$, coefficient de colinéarité, tel que $\vec v=k\vec u$ ;
• deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.
• Par convention, $\vec 0$ (le vecteur nul) est colinéaire à tout vecteur.
• Soit $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé du plan :
• $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-yx'=0$.
• Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
• Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et ${\overrightarrow{AC}}$ sont colinéaires.

Vecteur directeur d’une droite et vecteur normal à une droite

• Soit $\mathscr D$ une droite et $\vec u$ un vecteur non nul du plan :
• $\vec u$ est un vecteur directeur de $\mathscr D$ s’il existe deux points $A$ et $B$ de $\mathscr D$ tels que $\vec u={\overrightarrow{AB}}$.
• Soit $\vec u$ un vecteur directeur d’une droite $\mathscr D$ :
• $\vec v$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr D$ si et seulement si $\vec v$ est non nul et colinéaire à $\vec u$.
• Soit $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ deux droites de vecteurs directeurs respectivement $\vec u$ et $\vec v$ :
• $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ sont parallèles si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
• Soit $A$ un point du plan, $\vec u$ un vecteur non nul et $\mathscr D$ la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec u$ :
• un point $M$ appartient à la droite $\mathscr D$ si et seulement si les vecteurs $\vec u$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.
• Soit $\vec n$ un vecteur non nul et $\mathscr D$ une droite :
• $\vec n$ est un vecteur normal à $\mathscr D$ si $\vec n$ est orthogonal à un vecteur directeur de $\mathscr D$.

Équations cartésiennes

Dans un plan muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec\imath\ ;\,\vec\jmath\,)$.

• Une droite $\mathscr D$ a pour équation cartésienne une équation de la forme : $ax+by+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels, avec $(a\ ;\,b)\neq(0\ ;\,0)$.
• Le vecteur $\vec u \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr D$.
• Le vecteur $\vec n \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à cette droite.

Réciproquement, pour $a$ et $b$ deux réels, $(a\ ;\,b)\neq(0\ ;\,0)$, si une droite $\mathscr D$ a pour vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ ou pour vecteur normal $\vec n \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, alors elle admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$, où $c$ est un nombre réel à déterminer.

• Un cercle $\mathscr C$ de centre $\Omega\,(x_\Omega\ ;\,y_\Omega)$ et de rayon $R$ a pour équation cartésienne une équation de la forme : $(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2$.

Réciproquement, $(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2$ est l’équation d’un cercle de centre $\Omega\ (x_\Omega\ ;\,y_\Omega)$ et de rayon $R$.

• Une parabole a pour équation cartésienne une équation de la forme : $y = ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, $b$ et $c$ trois nombres réels.