Cours : L'homothétie

Les symétries et la translation (rappels)

Symétrie axiale

Définition

Symétrique d’un point par rapport à une droite :

Soit $(d)$ une droite et $M$ un point.

• Si $M$ appartient à $(d)$, alors son symétrique par rapport à $(d)$ est lui-même.
• Si $M$ n’appartient pas à $(d)$, alors son symétrique par rapport à $(d)$ est le point $M^{\prime}$ tel que :
• la droite $(d)$ coupe le segment $[MM^{\prime}]$ en son milieu ;
• $(d)$ et $[MM^{\prime}]$ sont perpendiculaires.
• Autrement dit, $M^{\prime}$ est tel que $(d)$ est la médiatrice de $[MM^{\prime}]$.

Deux figures symétriques par symétrie axiale se superposent parfaitement par un pliage le long de l’axe de symétrie.

Symétrie centrale

Définition

Symétrique d’un point par rapport à un point :

Soit $O$ et $M$ deux points distincts.

• Le symétrique du point $O$ par rapport à $O$ est lui-même.
• Le symétrique du point $M$ par rapport à $O$ est le point $M^{\prime}$ tel que $O$ est le milieu du segment $[MM^{\prime}]$.

Deux figures symétriques par symétrie centrale se superposent parfaitement par un demi-tour autour du centre de symétrie.

Translation

Définition

Translation :

Soit $A$ et $B$ deux points distincts.
La translation qui transforme $A$ en $B$ est le glissement défini par :

• une direction : la droite $(AB)$ ;
• un sens : de $A$ vers $B$ ;
• une longueur : $AB$.

Sur une figure, on peut représenter cette transformation par une flèche appelée vecteur. Le vecteur qui part ainsi de $A$ vers $B$ est noté : $\overrightarrow{AB\ }$.

À retenir

On considère un autre point noté $M$.
Son image par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ est le point $M^{\prime}$ tel que :

• les droites $(AB)$ et $(MM^{\prime})$ sont parallèles (confondues si $M$ appartient à $(AB)$) ;
• les vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{MM^{\prime}\ }$ vont dans le même sens ;
• $MM^{\prime}=AB$.
• Autrement dit, $M^{\prime}$ est tel que le quadrilatère $ABM^{\prime}M$ est un parallélogramme (aplati si $M$ appartient à $(AB)$).

Une translation fait glisser une figure dans une direction, un sens et une longueur donnés.

Propriétés de conservation

Propriété

• La symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation conservent :
• les alignements ;
• les mesures d’angles ;
• les longueurs ;
• les aires.
• Par une symétrie centrale ou une translation, l’image d’un segment (ou d’une droite) est un segment (ou une droite) qui lui est parallèle.

Les rotations

Définition et propriétés

Définition

Rotation :

Une rotation est une transformation du plan qui fait tourner une figure autour d’un point, dans un sens donné et suivant un angle donné.

À retenir

Une rotation est donc une transformation déterminée par :

• un centre (le centre de la rotation) ;
• un sens : horaire (sens des aiguilles d’une montre) ou antihoraire (sens inverse des aiguilles d’une montre) ;
• un angle.

L’image du centre d’une rotation par cette rotation est lui-même.

Sur la représentation suivante, on a construit l’image d’une figure par une rotation de centre $O$, dans le sens antihoraire, avec un angle de $60\degree$. On a :

• $OM=OM^{\prime}$ ;
• $\widehat{MOM^{\prime}}=60\degree$ ;
• en tournant dans le sens antihoraire.

Astuce

• Le sens antihoraire est aussi appelé sens direct.
• Le sens horaire est aussi appelé sens indirect.

Remarque : Effectuer une rotation avec un angle de $180\degree$ revient à faire une symétrie centrale.

On retrouve aussi, pour la rotation, des propriétés de conservation.

Propriété

Une rotation conserve :

• les alignements ;
• le parallélisme ;
• les mesures d’angles ;
• les longueurs ;
• les aires.

Attention

L’image d’un segment (ou d’une droite) par une rotation n’est pas toujours un segment (ou une droite) qui lui est parallèle.

Méthodes

Comment construire l’image d’un point par une rotation

On cherche à construire l’image d’un point $A$ par une rotation de centre $O$, avec un angle de $30\degree$ dans le sens horaire.

• On commence par tracer la demi-droite $[OA)$ (ou le segment $[OA]$).
  Il est conseillé, pour ne pas commettre d’erreur, de noter le sens de la rotation, ici horaire.

• Avec un rapporteur puis une règle, on trace une demi-droite d’origine $O$, formant un angle de sommet $O$ mesurant $30\degree$ avec $[OA)$, en respectant bien le sens horaire donné.

• On place ensuite la pointe du compas sur le point $O$. Et on règle l’écartement sur la longueur $OA$, puis on reporte cette longueur sur la demi-droite que l’on a tracée au point 2, en traçant un petit arc de cercle.
• On obtient ainsi le point $A^{\prime}$, à l’intersection de la demi-droite et de l’arc.

Comment construire l’image d’une figure par une rotation

Pour construire l’image d’une figure par une rotation :

• on suit la méthode que l’on vient de donner pour construire :
• les images de chacun des sommets s’il s’agit d’un polygone,
• l’image de son centre s’il s’agit d’un cercle (ou d’un demi-cercle) ;
• on peut ensuite compléter la figure.

Astuce

On peut aussi, après avoir construit l’image d’un premier élément, compléter la figure en utilisant les propriétés de conservation (mesures d’angles, longueurs de segments, etc.).

Exemple

Dans la représentation ci-dessous, le triangle $T^{\prime}H^{\prime}E$ est l’image du triangle $THE$ rectangle en $H$ par la rotation de centre $E$ et d’angle $45\degree$, dans le sens antihoraire. Ainsi :

• $T^{\prime}$ est l’image de $T$ ;
• $H^{\prime}$ est l’image de $H$ ;
• $E$ étant le centre de la rotation, il est sa propre image.
• Comme la rotation conserve les angles, le triangle $T^{\prime}H^{\prime}E$ est rectangle en $H^{\prime}$.

Image d’un triangle par une rotation

Rosace

Repartons du triangle $THE$ de l’exemple précédent et de son image $T^{\prime}H^{\prime}E$ par la rotation de centre $E$, d’angle $45\degree$ dans le sens antihoraire. Transformons cette image en appliquant la même rotation. On continue ainsi de suite jusqu’à avoir « fait le tour » :

• La figure obtenue, constituée d’un motif qui est reproduit plusieurs fois par rotation, est appelée rosace.

Appliquer les propriétés de conservation

Pour la rosace que nous avons obtenue, on donne $TH=2\ \text{cm}$ et $EH=4\ \text{cm}$. Et on cherche l’aire $\mathcal A$ de l’ensemble des triangles qui constituent la rosace.

• Calcul de l’aire du triangle $THE$

$THE$ est rectangle en $H$ et on connaît les longueurs des côtés de l’angle droit.
On calcule son aire, que l’on note $\mathcal A_\text{t}$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A_\text{t}&=\dfrac {TH\times EH}2 \\ &=\dfrac {2\times 4}2 \\ &=4 \end{aligned}$$

L’aire de $THE$ vaut donc $4\ \text{cm}^2$.

• Calcul de l’aire $\mathcal A$ de l’ensemble des triangles de la rosace

On sait que les triangles ont été obtenus par des rotations successives. Comme la rotation conserve les aires, les $8$ triangles qui forment la rosace ont chacun la même aire.
Il suffit donc de multiplier l’aire de $THE$ par $8$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=8\times \mathcal A_\text{t} \\ &=8\times 4 \\ &=32 \end{aligned}$$

L’ensemble des triangles de la rosace ont une aire de $32\ \text{cm}^2$.

Les homothéties

Définitions

Définition

Homothétie :

Une homothétie transforme une figure :

• en l’agrandissant ou en la réduisant, avec un rapport non nul $k$ ;
• le long de droites sécantes en un point $O$, appelé centre.

Différencions les cas où $k$ est strictement positif et ceux où $k$ est strictement négatif.

Homothétie de rapport positif

Définition

Image d’un point par une homothétie de rapport positif :

Soit $O$ et $M$ deux points, et $k$ un nombre strictement positif.
Le point $M^{\prime}$, image du point $M$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, est tel que :

• $M^{\prime}$ appartient à la demi-droite $[OM)$ (autrement dit, $O$, $M$ et $M^{\prime}$ sont alignés, et $M$ et $M^{\prime}$ sont du même côté de $O$) ;
• $OM^{\prime}=k\times OM$.

Dans la représentation de de gauche, $k=\frac 13$ est plus petit que $1$ (et positif).

• La figure image est une réduction de la figure initiale.
• Toutes les longueurs de la figure initiale ont ainsi été multipliées par $\frac 13$ (soit divisées par $3$).

Dans celle de droite, $k=2$ est plus grand que $1$.

• La figure image est un agrandissement de l’image initiale.
• Toutes les longueurs de la figure initiale ont ainsi été multipliées par $2$.

Homothétie de rapport négatif

Définition

Image d’un point par une homothétie de rapport négatif :

Soit $O$ et $M$ deux points, et $k$ un nombre strictement négatif.
Le point $M^{\prime}$, image du point $M$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, est tel que :

• $M^{\prime}$ appartient à la droite $(OM)$, mais pas à la demi-droite $[OM)$ (autrement dit, $O$, $M$ et $M^{\prime}$ sont alignés, et $M$ et $M^{\prime}$ sont de part et d’autre de $O$) ;
• $OM^{\prime}=-k\times OM$ (comme $k$ est négatif, $-k$ est positif).

Dans la représentation de de gauche, $k=-\frac 13$ est plus grand que $-1$ (et négatif).

• La figure image est une réduction de la figure initiale.
• Toutes les longueurs de la figure initiale ont ainsi été multipliées par $-\left(-\frac 13\right)$, soit $\frac 13$ (autrement dit, elles ont été divisées par $3$).

Dans celle de droite, $k=-2$ est plus petit que $-1$.

• La figure image est un agrandissement de l’image initiale.
• Toutes les longueurs de la figure initiale ont ainsi été multipliées par $-(-2)$, soit $2$.

Dans ces deux cas, on peut voir que la figure image est retournée par rapport à la figure initiale.

À retenir

Si le rapport $k$ est négatif, la figure image est de l’autre côté du centre et elle est retournée par rapport à la figure initiale.

Remarque :
Dans le cas où $k=-1$, on a :

$$OM^{\prime}=-(-1)\times OM^{\prime}=1\times OM=OM$$

Et $M$ et $M^{\prime}$ sont de part et d’autre de $O$.
Le point $M^{\prime}$ est donc tel que le centre $O$ de l’homothétie est le milieu de $[MM^{\prime}]$. On retrouve la définition de la symétrie centrale.

• Ainsi, une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-1$ correspond à une symétrie par rapport au point $O$.

Récapitulatif

Il est important de savoir « lire » le rapport de l’homothétie, pour reconnaître facilement dans quel cas on se situe.

À retenir

• Les longueurs de la figure initiale sont multipliées par la distance à zéro de $k$ :
• si la distance à zéro de $k$ est inférieure à $1$, alors l’image est une réduction de la figure initiale ;
• si la distance à zéro de $k$ est supérieure à $1$, alors l’image est un agrandissement de la figure initiale.
• Si $k$ est positif, alors l’image est du même côté de $O$ que la figure initiale, et les deux images sont dans le même sens.
• Si $k$ est négatif, alors l’image est de l’autre côté de $O$ par rapport à la figure initiale, et elle est retournée.

Propriétés

Nous connaissons les propriétés des agrandissements et des réductions, qui sont aussi valables pour les homothéties.

Propriété

• Une homothétie conserve les angles, les alignements et le parallélisme.
• Par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ non nul :
• les longueurs sont multipliées par la distance à zéro de $k$ :
• $k$, si $k$ est positif,
• $-k$, si $k$ est négatif ;
• les aires sont multipliées par $k^2$.

Méthodes

Construire l’image d’un point par une homothétie

Donnons tout d’abord une méthode générale, que nous appliquerons ensuite en détail.

À retenir

On cherche à construire l’image $A^{\prime}$ d’un point $A$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.

Pour placer $A^{\prime}$ :

• si $k > 0$, on trace la demi-droite $[OA)$, on y reporte à partir de $O$ la longueur égale à $k$ fois $OA$ (si $k$ est plus petit que $1$, $A^{\prime}$ appartient à $[OA]$) ;
• si $k < 0$, on trace la droite $(OA)$, on y reporte à partir de $O$, mais pas sur $[OA)$, la longueur égale à $-k$ fois $OA$.

Exemple

Soit $O$ et $A$ deux points tels que $OA=3\ \text{cm}$.
On veut construire :

• le point $A^{\prime}$, image de $A$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ ;
• le point $A^{\prime\prime}$, image de $A$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $-0,5$.

La première homothétie est de rapport positif, et la seconde homothétie est de rapport négatif.

• Commençons par tracer la droite $(OA)$ :

Tracé de la droite (OA)

• Point $A^{\prime}$ :

$\red 3 > 1$, donc $\textcolor{#FF7F00}{A^{\prime}}$ appartient à $[OA)$.

• On place $\textcolor{#FF7F00}{A^{\prime}}$ en reportant $\red 3$ fois la longueur $\textcolor{#003399}{OA}$ sur $[OA)$ en partant de $O$, avec un compas par exemple, ou en reportant directement la longueur $\textcolor{#FF7F00}{OA^{\prime}}$ :

$$\textcolor{#FF7F00}{OA^{\prime}}=\red 3\times \textcolor{#003399}{3\ \text{cm}}=\textcolor{#FF7F00}{9\ \text{cm}}$$

A’, image de A par l’homothétie de rapport 3

• Point $A^{\prime\prime}$ :

Ici, $\red{-0,5} < 0$, donc $\textcolor{#009900}{A^{\prime\prime}}$ appartient à $(OA)$ sans appartenir à $[OA)$.

• On place $\textcolor{#009900}{A^{\prime\prime}}$ de l’autre côté de $O$ par rapport à $\textcolor{#003399}A$ tel que :

$$\textcolor{#009900}{OA^{\prime\prime}}=-(\red{-0,5})\times \textcolor{#003399}{OA}=0,5\times \textcolor{#003399}{3\ \text{cm}}=\textcolor{#009900}{1,5\ \text{cm}}$$

A’’, image de A par l’homothétie de rapport – 0,5

Construire l’image d’une figure par une homothétie

À retenir

Pour construire l’image d’une figure par une homothétie :

• on suit la méthode que l’on vient de donner pour construire :
• les images de chacun des sommets s’il s’agit d’un polygone,
• l’image de son centre s’il s’agit d’un cercle (ou d’un demi-cercle) ;
• on peut ensuite compléter la figure.

Astuce

On peut aussi utiliser les propriétés de conservation (mesures d’angles, parallélisme, etc.) , ainsi que les rapports de longueurs, pour compléter une figure image à partir d’un élément construit.

Exemple

Dans la figure ci-dessous :

• le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ ;
• $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ est l’image de $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ de rapport $3$ :
• $3 > 0$, donc $ABC$ et $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ sont dans le même sens,
• $3 > 1$, donc $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ est un agrandissement de $ABC$ ;
• $A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}$ est l’image de $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ de rapport $-0,5$ :
• $-0,5 < 0$, donc $A^{\prime\prime}B^{\prime\prime }C^{\prime\prime }$ est retourné par rapport à $ABC$,
• $0,5 < 1$, donc $A^{\prime\prime }B^{\prime\prime }C^{\prime\prime }$ est une réduction de $ABC$ ;
• comme une homothétie conserve les mesures d’angles :
• $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ est isocèle en $A^{\prime}$,
• $A^{\prime\prime }B^{\prime\prime }C^{\prime\prime }$ est isocèle en $A^{\prime\prime }$.

A’B’C’ et A’’B’’C’’’, respectivement images de ABC par les homothéties de centre O de rapport 3 et 0,5

Calculer des aires

À retenir

Pour calculer l’aire de l’image d’une figure par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ (positif ou négatif) :

• on calcule l’aire de l’image initiale ;
• on se sert de la propriété sur les aires ;
• l’aire de l’image est donc égale à l’aire de la figure initiale multipliée par le rapport au carré.

Exemple

Reprenons la représentation précédente, où nous ajoutons $H$, point d’intersection de $(OA)$ et de $[BC]$. Nous admettons aussi que $(OA)$ et $[BC]$ sont perpendiculaires et que $H$ est le milieu de $[BC]$. On donne :

• $AB=5\ \text{cm}$ ;
• $BC=6\ \text{cm}$.
• On cherche à calculer l’aire des trois triangles.

H, point d’intersection de (OA) et [BC]

• Calcul de l’aire de $ABC$

On sait que $[AH]$ et $[BC]$ sont perpendiculaires et que $H$ appartient au côté opposé à $A$.
$[AH]$ est donc la hauteur du triangle $ABC$ issue de $A$. On connaît la longueur de $[BC]$ : si on détermine la longueur de $[AH]$, alors on pourra calculer l’aire de $ABC$.

On sait que $H$ est le milieu de $[BC]$, donc :

$$BH=\dfrac {BC}2=\dfrac 62=3$$

Ainsi, dans le triangle $AHB$ rectangle en $H$, on connaît la longueur de deux côtés et on cherche la longueur du troisième côté.

• On applique donc le théorème de Pythagore dans le triangle $AHB$ rectangle en $H$, et on obtient ainsi :

$$\begin{aligned} AH^2+BH^2&=AB^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} AH^2&=AB^2-BH^2 \\ &=5^2-3^2 \\ &=25-9 \\ &=16 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Et\ :\ }} AH&=\sqrt{16}=4 \end{aligned}$$

On peut maintenant calculer l’aire de $ABC$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A_{ABC}&=\dfrac{BC\times AH}2 \\ &=\dfrac{6\times 4}2 \\ &=\dfrac{24}2 \\ &=12 \end{aligned}$$

L’aire de $ABC$ vaut donc $12\ \text{cm}^2$.

• Calcul de l’aire de $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$

$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ est l’image de $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k_{\tiny 1}=3$.
On calcule l’aire de $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}&=k_{\tiny 1}^2\times \mathcal A_{ABC} \\ &=3^2\times 12 \\ &=9\times 12 \\ &= 108 \end{aligned}$$

L’aire de $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ vaut $108\ \text{cm}^2$.

• Calcul de l’aire de $A^{\prime\prime}B^{\prime\prime }C^{\prime\prime }$

$A^{\prime\prime }B^{\prime\prime }C^{\prime\prime }$ est l’image de $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k_{\tiny 2}=-0,5$.
L’aire de $A^{\prime\prime }B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}$ vaut donc :

$$\begin{aligned} \mathcal A_{A^{\prime\prime }B^{\prime\prime }C^{\prime\prime }}&=k_{\tiny 2}^2\times \mathcal A_{ABC} \\ &=(-0,5)^2\times 12 \\ &=0,5^2\times 12 \\ &=0,25\times 12 \\ &=3 \end{aligned}$$

L’aire de $A^{\prime\prime}B^{\prime\prime }C^{\prime\prime }$ vaut $3\ \text{cm}^2$.

Image d’un segment (ou d’une droite)

Nous ajoutons maintenant une propriété, que certains ont pu remarquer dans tous les exemples précédents. Elle nous permettra aussi de voir le lien entre homothétie et théorème de Thalès.

Propriété

Par une homothétie, l’image d’un segment (ou d’une droite) est un segment (ou une droite) qui lui est parallèle.

Démonstration

Soit $A$, $B$ et $C$ trois points distincts, et $k$ un nombre strictement supérieur à $1$.
On construit le segment $[A^{\prime}B^{\prime}]$, image du segment $[AB]$ par l’homothétie de centre $C$ et de rapport $k$.

Image de [AB] par l’homothétie de centre C et de rapport k > 1

$A^{\prime}$ est l’image de $A$ par l’homothétie de centre $C$ et de rapport $k$.

• On a donc :

$$\begin{aligned} CA^{\prime}&=k\times CA \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} \dfrac{CA^{\prime}}{CA}&=\green k \end{aligned}$$

$B^{\prime}$ est l’image de $B$ par la même homothétie.

• Ainsi :

$$\begin{aligned} CB^{\prime}&=k\times CB \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} \dfrac{CB^{\prime}}{CB}&=\green k \end{aligned}$$

• Ainsi, les rapports $\frac {CA^{\prime}}{CA}$ et $\frac {CB^{\prime}}{CB}$ sont égaux.

De plus, $C$, $A$ et $A^{\prime}$, d’une part, $C$, $B$ et $B^{\prime}$, d’autre part, sont alignés dans le même ordre.

• D’après la réciproque du théorème de Thalès, les segments $[AB]$ et $[A^{\prime}B^{\prime}]$ sont parallèles.
  C’est-à-dire que l’image du segment $[AB]$ par l’homothétie de centre $C$ et de rapport $k$ est un segment qui lui est parallèle.

Astuce

Nous avons ici choisi $k > 1$, pour faciliter la représentation graphique de la situation.
Cela reste vrai :

• pour $0 < k < 1$, avec la même configuration en « triangle emboîtés » ;
• pour $k < 0$, on aura la configuration de Thalès dite « en papillon », que l’on découvre en troisième et que certains ont peut-être déjà vue :

Configuration « en papillon »

Trouver le centre d’une homothétie et déterminer son rapport

La plupart du temps, on vous demandera de construire l’image d’une figure par une homothétie de centre et de rapport donnés. Il peut cependant arriver, dans certains exercices, qu’il vous soit demandé, à partir de deux figures dont on sait que l’une est l’image de l’autre par une homothétie, de déterminer son centre et son rapport.
Nous allons voir, pour terminer ce cours, comment faire à travers un exemple.

Dans la figure suivante, tracée sur un quadrillage dont les carreaux sont des carrés de $1\ \text{cm}$ de côté, on sait que le triangle $D^{\prime}E^{\prime}F^{\prime}$ est l’image du triangle $DEF$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, mais ces centre et rapport sont inconnus.

On cherche donc à placer le centre $O$ de l’homothétie et à déterminer son rapport.

• Centre $O$ de l’homothétie

On sait que le centre de l’homothétie est aligné avec un point et son image. Il appartient donc aux droites qui relient un point et son image.

• Il faut donc tracer les droites $(DD^{\prime})$, $(EE^{\prime})$ et $(FF^{\prime})$ : leur point d’intersection est le centre de l’homothétie recherché :

Astuce

Ici, l’énoncé stipule que $D^{\prime}E^{\prime}F^{\prime}$ est l’image de $DEF$ par homothétie.

• On aurait pu ne tracer que deux droites pour placer $O$, la troisième passant alors nécessairement par $O$.

• Rapport $k$ de l’homothétie

En observant la représentation initiale, nous pouvons déduire plusieurs choses.

• $D^{\prime}E^{\prime}F^{\prime}$ est plus petit que $DEF$. Il s’agit donc d’une réduction, ainsi la distance à zéro de $k$ est inférieure à $1$.
• Les deux triangles sont dans le même sens. Le rapport $k$ est donc positif.
• $k$ est ainsi compris entre $0$ et $1$.

Tout cela est bien confirmé par la position du centre $O$ que nous venons de placer. Par exemple :

• $D^{\prime}$ appartient à $[OD]$ (autrement dit : $OD^{\prime} < OD$), il y a donc réduction et la distance à zéro de $k$ est inférieure à $1$ ;
• $D$ et son image $D^{\prime}$ sont du même côté de $O$, donc $k$ est positif.

Il reste donc à déterminer la valeur précise de $k$.
Pour cela, il faut trouver un segment et son image dont on peut déterminer la longueur.
Ici, en se servant du quadrillage, on voit que :

• $DE=4\ \text{cm}$ (le segment $[DE]$suit exactement le quadrillage) ;
• $D^{\prime}E^{\prime}=1\ \text{cm}$ ($[D^{\prime}E^{\prime}]$ est l’image de $[DE]$ par une homothétie, ils sont donc parallèles, et $D^{\prime}E^{\prime}$ est égale à la largeur d’un carreau).

Or, on sait que : $D^{\prime}E^{\prime}=k\times DE$. D’où :

$$k=\dfrac{D^{\prime}E^{\prime}}{DE}=\boxed{\dfrac 14=0,25}$$

• $D^{\prime}E^{\prime}F^{\prime}$ est l’image de $DEF$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac 14=0,25$.

Astuce

Ici, calculer un seul rapport est suffisant car on sait, par l’énoncé, que les deux triangles sont homothétiques. Tous les autres rapports sont ainsi nécessairement égaux à $\frac 14$ :

$$\begin{aligned} \dfrac 14&=\dfrac{D^{\prime}E^{\prime}}{DE}=\dfrac{E^{\prime}F^{\prime}}{EF}=\dfrac{D^{\prime}F^{\prime}}{DF} \\ \dfrac 14&=\dfrac{OD^{\prime}}{OD}=\dfrac{OE^{\prime}}{OE}=\dfrac{OF^{\prime}}{OF} \end{aligned}$$