Fiche de révision : Calcul littéral et équation

La distributivité

Distributivité simple

Distributivité simple :

Quels que soient les nombres relatifs $k$, $a$ et $b$, on a :

$$\begin{aligned} \red k(\purple a+ \orange b)=\red k \purple a+ \red k \orange b \\ \red k(\purple a- \orange b)=\red k \purple a- \red k \orange b \end{aligned}$$

Cette propriété permet :

• de développer une expression, c’est-à-dire de transformer un produit en somme ;
• de factoriser une expression, c’est-à-dire de transformer une somme en produit.

Cas particulier :

Soit $a+b$ une expression littérale, avec $a$ et $b$ des nombres relatifs.
Son opposé vaut :

$$\red{-}(\purple a+\orange b) = \red{-}\purple a \red{-} \orange b$$

Double distributivité

Quels que soient les nombres relatifs $a$, $b$, $c$ et $d$, on a :

$$(\green a+\blue b)(c+d)=\green ac+\green ad+\blue bc+\blue bd$$

Les identités remarquables :

Quels que soient les nombres relatifs $a$ et $b$, on a :

• $(\green a+\blue b)^2=\green a^2+2\green a\blue b+\blue b^2$ ;
• $(\green a-\blue b)^2=\green a^2-2\green a\blue b+\blue b^2$ ;
• $(\green a+\blue b)(\green a-\blue b)=\green a^2-\blue b^2$.

Résoudre des équations

Rappels

Définition

Équation, solution :

Une équation est une égalité dans laquelle figure au moins un nombre inconnu, alors désigné par une lettre.
Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité de l’équation vraie.

• Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

On considère le produit de deux facteurs.

• Si au moins l’un des facteurs est nul, alors leur produit est nul.
• Si leur produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.
• En effet, si vous multipliez n’importe quel nombre par $0$, le résultat sera $0$.

Une égalité reste vraie si :

• on ajoute ou soustrait un même nombre à ses deux membres ;
• on multiplie ou divise ses deux membres par un même nombre non nul.

Équations de la forme $x^2=a$

Soit $a$ un nombre relatif, et l’équation $x^2=a$.

• Si $a < 0$, l’équation n’admet aucune solution.
• Si $a = 0$, l’équation admet comme solution $0$.
• Si $a > 0$, l’équation admet deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

Modéliser une situation par une équation

Avant de se lancer, on s’assurera d’avoir bien compris l’énoncé, ce que l’on cherche. On pourra s’aider d’un schéma si nécessaire.

• Choisir l’inconnue (bien comprendre l’énoncé permet de l’identifier) et la nommer.
• S’il y a plusieurs nombres à chercher, il convient d’exprimer tous les nombres en fonction de l’inconnue.
• Traduire l’énoncé par une équation.
• Résoudre l’équation obtenue, en utilisant les propriétés sur les égalités et les opérations.
• Vérifier que la solution trouvée est cohérente et qu’elle répond bien au problème posé.
• Conclure en répondant à la question posée.