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Cours : Fonction exponentielle : définition, propriétés et résolution de calcul

Fonction exponentielle : définition, propriétés et résolution de calcul

Introduction :

La fonction exponentielle est essentielle dans le programme de terminale car elle est très souvent proposée au baccalauréat. Dans ce premier cours sur la fonction exponentielle, nous allons la définir, étudier ses propriétés et traiter quelques exemples.

Définition de la fonction exponentielle

bannière definition

Définition

Fonction exponentielle :

La fonction exponentielle est la fonction, notée $exp$, dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $exp'=exp $ et $exp(0)=1$.

  • Deux conséquences :
  • la fonction exponentielle ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$ : pour tout $x\in\mathbb{R}$, $exp(x)\neq0$
  • la fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante pour tout $x$ réel.

Propriétés de la fonction exponentielle

bannière propriete

Propriété

  • $:exp (a+b)=exp(a)\times exp (b)$
  • $:exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}$
  • $:exp(-x)=\dfrac{1}{exp(x)}$
  • $:exp(nx)=[exp(x)]^n$

On utilise une notation moins lourde : $exp(x)=e^x$.

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Propriété

  • $e^0=1 $ et $e^1=e$
  • Pour tous nombres $a$ et $b$ :
  • $:e^{a+b}=e^{a}\times e^b$
  • $:e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^b}$
  • $:e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
  • Pour tout nombre $x$ réel et pour tout entier relatif $n$, $e^{nx}=[e^{(x)}]^n$
bannière propriete

Propriété

  • $a < b$ équivaut à $e^{a} < e^b$
  • $a=b$ équivaut à $e^{a}=e^b$

Résolutions de calcul

Exemple 1

bannière exemple

Exemple

Simplifions les écritures suivantes :

  • $e^{2x}\times e^{-5x}$

On utilise la propriété $e^{a+b}=e^{a}\times e^b$ :

$$e^{2x}\times e^{-5x} = e^{2x-5x}=e^{-3x}$$

  • $\dfrac{e^{4x}}{e^{2x+1}}$

On utilise la propriété $\dfrac{e^{a}}{e^b}=e^{a-b}$ :

$$\dfrac{e^{4x}}{e^{2x+1}} = e^{4x-(2x+1)}=e^{2x-1}$$

  • $e^x\times e^{-x}$

On utilise la propriété $e^{a+b}=e^{a}\times e^b$ : $$e^x\times e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1$$

Exemple 2

bannière exemple

Exemple

Résolvons les équations et inéquations suivantes :

  • $e^{-x+7}=e^{x+3}$
  • On utilise la propriété : $a < b \Leftrightarrow e^{a} < e^b$

$\begin{aligned}e^{-x+7}&=e^{x+3} \\ -x+7&=x+3 \\ 2x&=7-3 \\ 2x&=4 \\ x&=2\end{aligned}$

  • $e^{3-x}=1$
  • On utilise la propriété : $a < b \Leftrightarrow e^{a} < e^b$

$\begin{aligned}e^{3-x}&=1 \\ e^{3-x}&=e^0 \\ 3-x&=0 \\ x&=3\end{aligned}$

  • $e^{2x+1} < e^{-x^2+4}$
  • On utilise la propriété : $a=b \Leftrightarrow e^{a}=e^b$

$\begin{aligned}&e^{2x+1} < e^{-x^2+4} \\ &2x+1<-x^2+4 \\ &x^2+2x+1-4<0 \\ &x^2+2x-3<0\end{aligned}$

  • On reconnaît une inéquation de second degré de la forme $ax^2+bx+c<0$.

la fonction exponentielle mathématiques terminale ES L

Le discriminant est égal à : $\Delta=b^2-4ac=(2)^2-4(1)(-3)=16$ donc $\Delta>0$.

L’équation $x^2+2x-3=0$ admet donc deux solutions $x_1$ et $x_2$ :

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=-3$

$x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=1$

On obtient le tableau de signe suivant :

la fonction exponentielle mathématiques terminale ES L

  • L’ensemble des solutions de l’inéquation $x^2+2x-3<0$ est donc $S=]-3;1[$.