Fiche de révision : La fonction racine carrée

Courbe représentative de la fonction racine carrée

• La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel positif $x$ associe le nombre réel positif noté $\sqrt x$ dont le carré est $x$.
• $f(x)=\sqrt x$ avec $x\geq0$.
• Afin de tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée sur un intervalle, il faut établir un tableau de valeurs.

Propriétés de la fonction racine carrée

• On a $\sqrt 0=0$ et pour tout $x>0$ on a $\sqrt x>0$ ;
• La racine carrée d’un nombre positif $x$ est le nombre positif, noté $\sqrt x$, tel que $\sqrt x^2=x$ ;
• La fonction racine carrée est strictement croissante.
• Pour tous $a$ et $b$ réels positifs tels que $a< b$, alors $f(a)<f(b)$. La réciproque est aussi vraie.
• Équation du type $\sqrt x=k$ où $k$ est un réel
• Afin de résoudre algébriquement l’équation $\sqrt x=k$ , il faut distinguer trois cas différents :
• Cas où $k<0$ :
• L’équation $\sqrt x=k$ où $k<0$ n’admet pas de solution car $\sqrt x\ge 0$.
• Cas où $k=0$ :
• L’équation $\sqrt x=0$ admet une solution qui est égale à $0$ car $\sqrt 0=0$.
• Cas où $k>0$ :
• L’équation $\sqrt x=k$ admet une solution unique $x=k^2$.
• Inéquation du type $\sqrt {x} < k$ où $k$ est un réel
• Afin de résoudre algébriquement l’inéquation $\sqrt x<k$, il faut distinguer différents cas :
• Cas où $k<0$ :
• L’inéquation $\sqrt x<k$ où $k<0$ n’admet pas de solution car $\sqrt x\ge 0$.
• Cas où $k=0$ :
• L’inéquation $\sqrt x<0$ n’admet pas de solution, et l’inéquation $\sqrt x\leq 0$ admet une solution qui est égale à $0$ car $\sqrt 0=0$.
• Cas où $k>0$ :
• L’inéquation $\sqrt x<k$ admet comme unique intervalle solution $[0\,;\,k^2[$.