Cours : Le champ gravitationnel

La pesanteur

La masse et le poids

Considérons le système constitué du spationaute mentionné plus haut.
Sa masse est la somme des masses de tous les atomes et molécules le composant. Elle est donc la même sur la Terre, sur la Lune, ou dans le vide interplanétaire.
Le poids est une force exercée sur le spationaute se trouvant à la surface d’un astre. D’après les images d’archives, le poids du spationaute est moindre sur la Lune que sur la Terre.

À retenir

La masse d’un objet ne dépend que de sa composition.
Son poids dépend de l’astre à la surface duquel il se trouve.

L’accélération de pesanteur

Comparons le poids $\vec P$ du spationaute sur la Lune à son poids $\vec P$ sur la Terre :
$\big\|\vec P_\text{spationaute sur la Lune}\big\Vert < \big\Vert\vec P_\text{spationaute sur la Terre}\big\Vert$

En remplaçant chaque force par son expression :
$m_\text{spationaute}\times\Vert\vec g_\text{ Lune}\Vert < m_\text{spationaute}\times\Vert\vec g_\text{ Terre}\Vert$

Et donc :
$\Vert\vec g_\text{ Lune}\Vert < \Vert\vec g_\text{ Terre}\Vert$

Définition

Accélération de pesanteur :

L’accélération de pesanteur, notée $\vec{g}$, est égale au poids du système divisé par sa masse :

$$\vec g=\dfrac{\vec P}{m}$$

Elle dépend de l’astre à la surface duquel se trouve le système.

• La norme de l’accélération de pesanteur s’exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.
  Elle peut aussi s’exprimer en $\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$.

Exemple

Sur Terre, $\Vert\vec g\Vert\approx9,81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.

La force gravitationnelle et l’énergie potentielle de gravitation

La force de pesanteur est une expression particulière de la force gravitationnelle.

Expression de la force gravitationnelle

L’attraction gravitationnelle de la Terre s’exerce sur les êtres et objets se déplaçant à sa surface : c’est le poids.
Elle s’exerce aussi, par exemple, sur les spationautes de la station internationale. À nouveau, ceux-ci sont bien plus « légers » lors de leurs sorties extravéhiculaires qu’à la surface de la Terre.

• La force gravitationnelle exercée par l’astre autour duquel le système se déplace est donc d’autant plus faible que la distance à cet astre est élevée.

Définition

Force gravitationnelle :

La force gravitationnelle exercée par un point matériel $A$ de masse $m_A$ sur un point matériel $B$ de masse $m_B$ situé à une distance $r_{AB}$ s’écrit :

$$\begin{aligned} \vec F_{A/B}&=-G\cdot\dfrac{m_A\cdot m_B}{r_{AB}^2}\cdot\vec{u} \\ &=-\vec F_{B/A} \end{aligned}$$

Avec :

• $\vec{u}$ le vecteur unitaire dirigé de $A$ vers $B$,
• $G$ la constante universelle de gravitation :

$$\begin{aligned} G&\approx 6,67\times10^{-11}\ \text{SI} \\ &\approx 6,67\times10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2} \end{aligned}$$

• La force gravitationnelle, comme toutes les forces, s’exprime en newton ($\text{N}$).

Propriétés de la force gravitationnelle

À retenir

La force gravitationnelle est attractive :

• la force exercée par $A$ sur $B$ est dirigée vers $A$ ;
• l’action réciproque exercée par $B$ sur $A$ est dirigée vers $B$.

• Cette force s’exerce entre deux points matériels de nature quelconque.

Par exemple, elle s’exerce aussi entre le noyau et les électrons d’un atome, ou encore entre le spationaute et la station internationale. Cependant, cette force est d’autant plus intense que les masses en jeu sont élevées. À la surface de la Terre ou à l’altitude de la station internationale, on ressent donc principalement l’attraction de la Terre.
La norme de cette force est d’autant plus faible que la distance entre les deux points matériels est importante. Elle est donc moins intense à l’altitude de la station spatiale qu’à la surface.

Attention

Si plusieurs objets exercent sur le système des forces de normes comparables, il faut en calculer la somme vectorielle pour étudier le mouvement du système.
C’est le cas par exemple du phénomène des marées. Celles-ci sont un déplacement d’eau à la surface des océans, dû à l’attraction gravitationnelle exercée par la Lune et par le Soleil. La Lune est beaucoup plus légère que le Soleil mais aussi beaucoup plus proche, ainsi les deux effets sont comparables.

• L’amplitude de la marée dépend donc de la configuration géométrique du système Soleil-Terre-Lune.

Forces exercées par la Lune et le Soleil sur les marées

L’énergie potentielle de gravitation

Considérons un objet en chute libre. Au cours de sa chute, sa vitesse augmente. La hauteur à laquelle était placé cet objet lui conférait une énergie qui peut être transformée en mouvement : elle est donc appelée énergie potentielle. Comme elle est due à l’attraction gravitationnelle exercée sur l’objet, elle est appelée énergie potentielle de gravitation.

Définition

Énergie potentielle de gravitation :

L’énergie potentielle de gravitation d’un objet $B$, de masse $m_B$, situé à une distance $r_{AB}$ d’un objet $A$, de masse $m_A$, s’écrit :

$$E_\text{p,g}(B)=-G\cdot\dfrac{m_A\cdot m_B}{r_{AB}}$$

• L’énergie potentielle de gravitation, comme toute énergie, s’exprime en joule ($\text{J}$).

Astuce

La force gravitationnelle exercée par $A$ sur $B$ et l’énergie potentielle gravitationnelle de $B$ sont liées par la relation :

$$\vec F_{A/B}=-\dfrac{dE_\text{p,g}}{dr_{AB}}\cdot\vec{u}$$

L’action exercée par $A$ sur $B$ est d’autant plus faible que la distance $r_{AB}$ est grande.
$E_{p,g}$ tend vers $0$ à la limite où $r_{AB}$ tend vers l’infini.

• Quand $r_{AB}$ diminue, l’énergie potentielle $E_\text{p,g}$ diminue aussi.

Attention

La valeur absolue de $E_\text{p,g}$ et la norme de la force semblent devenir infinies à la limite où $r_{AB}$ tend vers $0$.
Physiquement, cela n’arrive pas. En effet, les deux points matériels représentent des objets solides ayant des dimensions finies.

• Par exemple, si $A$ est la Terre et que $B$ est un ballon, $r_{AB}$ ne peut pas être inférieure à la somme de leurs rayons : $r_A+r_B$.

Le champ gravitationnel

Définition

Champ :

Formellement, le champ physique peut être défini de la manière suivante : un champ est la donnée, pour chaque point de l’espace, de la valeur d’une grandeur physique (température, pression, vitesse, charge, masse, densité, potentiel, etc.).
En d’autres termes, les différentes valeurs prises par une grandeur physique dans une région de l’espace forment un champ.

• Les points correspondants à des valeurs identiques peuvent être reliés, formant des « lignes de champ ».

Notion de champ gravitationnel

Considérons un objet massif $A$, par exemple la Terre, et deux points matériels $B$ et $C$ situés à la même distance $r$ de $A$, par exemple deux satellites en orbite à la même altitude. Les forces exercées sur $B$ et $C$ diffèrent si leurs masses diffèrent. Cependant, l’action est exercée par le même objet, et de la même distance.

• Ce point commun s’écrit sous la forme d’un champ.

Définition

Champ gravitationnel :

Le champ gravitationnel représente l’action à distance exercée par tout objet massif, en tous les points de l’espace autour de lui.

• Le champ gravitationnel exercé par un point matériel $A$ de masse $m_A$, en un point $M$ quelconque situé à une distance $r$ de $A$, s’écrit :

$$\vec G_A(M)=-G\cdot\dfrac{m_A}{r^2}\cdot\vec u$$

Avec $\vec{u}$ le vecteur unitaire dirigé de $A$ vers $M$.

• Le champ gravitationnel s’exprime en $\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$.
  Il peut aussi s’exprimer dans une unité équivalente, le $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.

À retenir

Si en un point $M$ quelconque se trouve un objet de masse $m$, la force gravitationnelle exercée par $A$ sur $M$ est égale à :

$$\vec F_{A/M}=m\cdot\vec G_A(M)$$

L’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet situé au point $M$ dans le champ gravitationnel de $A$ vérifie la relation :

$$\vec G_A(M)=-\dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{d E_\text{p,g}(M)}{dr}\cdot\vec{u}$$

Attention

Le champ gravitationnel est une grandeur vectorielle, de même orientation que le vecteur $\overrightarrow{AM\,}$ et de sens opposé. Sa norme peut avoir la même valeur en plusieurs points sans que le vecteur $\vec G_A$ soit le même.

Attention

Dans le cas de plusieurs points matériels, il faut considérer la somme vectorielle des champs gravitationnels exercés en chaque point.

• Dans l’exemple des marées, le champ gravitationnel total exercé au niveau de la surface de l’océan est la somme des champs dus au Soleil et à la Lune.

Les lignes de champ gravitationnel

D’après l’écriture ci-dessus, la norme du champ gravitationnel au point $M$ ne dépend que de la masse de l’objet $A$ et de la distance $r=AM$.

• Le champ gravitationnel a la même norme en tous les points situés à une même distance $r$ de $A$.

Définition

Ligne de champ gravitationnel :

Une ligne de champ gravitationnel est une courbe orientée, tangente en chacun de ses points aux vecteurs du champ gravitationnel. Elle permet de décrire l’orientation et le sens du champ.

• Les lignes de champ gravitationnel sont radiales, et orientées vers le centre de gravité du système.