Cours : Le principe d’inertie

Principe d’inertie

Point matériel et systèmes isolés/pseudo-isolés

Définition

Point matériel :

Si les dimensions d’un système sont négligeables par rapport aux distances relatives à son mouvement, on peut l’assimiler à un seul point auquel on associe sa masse. Ce point est alors appelé point matériel. La plupart du temps, on choisira le centre de gravité.

Définition

Système isolé :

Un système est dit isolé s’il n’est soumis à aucune force extérieure.

Définition

Système pseudo-isolé :

Un système est dit pseudo-isolé si la somme vectorielle des forces s’exerçant sur lui est nulle :

$$\sum\vec{F}_{ext}=\vec{0}$$

• Le symbole sigma $\Sigma$ désigne la somme. Par exemple, si un système est soumis à trois forces $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$ et $\vec{F_3}$ alors $$\displaystyle\sum_{i=1}^3 \vec F_i=\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3$$

Énoncé de la loi et de la réciproque

Théorème

Énoncé du principe d’inertie :

Dans le référentiel galiléen, si les forces qui s’exercent sur un système se compensent, c’est-à-dire $\sum\vec{F}_{ext}=\vec{0}$, alors le système est soit immobile soit en mouvement rectiligne uniforme.

• Exemple : un objet posé sur le sol

Le système est soumis à deux forces : la force de réaction du support $\vec{R}$ et son poids $\vec{P}$.
Elles ont la même direction, la même norme (intensité) et ont un sens opposé.

L’objet est soumis à son poids $\vec{P}$.

• Caractéristiques du poids :
• direction : verticale ;
• sens : orienté vers le bas ;
• intensité : $P=mg$.

La deuxième force est la force exercée par le support sur l’objet $\vec{R}_{support/objet}$.

• Caractéristiques de cette force :
• direction : verticale ;
• sens : orienté vers le haut ;
• intensité : même valeur que $\vec{P}$.
• Les deux forces se compensent : $\textcolor{#3361FF}{\vec{R}}+\textcolor{#EF526C}{\vec{P}}=\vec{0}$ et nous pouvons dire que l’objet reste immobile.

Théorème

Réciproque du principe d’inertie :

Dans le référentiel galiléen, si le système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme, alors il est soumis à des forces qui se compensent ou à aucune force.

• Mathématiquement, nous pouvons écrire la relation suivante :

$$\vec{v}=\overrightarrow{cste} \Longleftrightarrow \sum\vec{F}_{ext}=\vec{0}$$

• Exemple : un palet glissant sur une pente de glace inclinée non lisse (avec frottement)

On considère palet glissant sur une pente de glace inclinée non lisse.
Dans le référentiel galiléen terrestre le système étudié est le palet.

Le palet est soumis à trois forces :

• Poids $\textcolor{#EF526C}{\vec{P}}$,
• Réaction $\textcolor{#3361FF}{\vec{R}_N}$ (composante normale),
• Frottement $\textcolor{#9A44D1}{\vec{f}}$ (composante tangentielle).
• Nous savons que le mouvement est rectiligne uniforme et donc, d’après le principe d’inertie, les trois forces se compensent et leur somme est nulle : $\textcolor{#3361FF}{\vec{R}_N}+\textcolor{#EF526C}{\vec{P}}+\textcolor{#9A44D1}{\vec{f}}=\vec{0}$

Énoncé de la contraposée et de la réciproque

Théorème

Énoncé de la contraposée :

Dans le référentiel galiléen, si un système n’est ni immobile ni en mouvement rectiligne uniforme, alors les forces qui agissent sur ce système ne se compensent pas.

Théorème

Réciproque de la contraposée :

Dans un référentiel galiléen, si les forces qui s’exercent sur un système ne se compensent pas, alors le système n’est ni immobile ni en mouvement rectiligne uniforme.

• Mathématiquement, nous pouvons écrire la relation suivante : $$\vec{v}≠\overrightarrow{cste} \Longleftrightarrow \sum\vec{F}_{ext}≠\vec{0}$$

• Exemple : Un palet glissant sur une pente de glace (sans frottement)

On considère palet glissant sur une pente de glace sans frottement.
Dans le référentiel galiléen terrestre, le système étudié est le palet.

Le palet est soumis à deux forces :

• Poids $\textcolor{#EF526C}{\vec{P}}$,
• Réaction $\textcolor{#3361FF}{\vec{R}_N}$ (composante normale).
• Nous savons que les deux forces extérieures ne se compensent pas : $\textcolor{#3361FF}{\vec{R}_N}+\textcolor{#EF526C}{\vec{P}}\neq\vec{0}$.

• Nous pouvons en conclure, d’après la réciproque de la contraposée du principe d’inertie, que le mouvement ne sera pas uniforme.

Ce mouvement sera donc rectiligne accéléré, car la somme des forces est colinéaire et que son sens est le même que celui du mouvement. C’est ce que nous allons voir dans la seconde partie de ce cours.

Variation du vecteur vitesse

Dans cette partie, nous allons étudier le cas d’un mouvement de chute libre avec et sans vitesse initiale d’un gymnaste sautant à la verticale sur un trampoline. Le cas de la chute libre nous permet de montrer l’effet d’une force sur la vitesse et le vecteur vitesse, d’un système modélisé par un point matériel par des forces dont la somme est non nulle.

Pour être plus précis, un système est en chute libre, lorsqu’il n’est soumis qu’à son poids $\vec{P}$.
Si l’on néglige les forces exercées par l’air sur le système (forces de frottement, poussée d’Archimède), il tombe en chute libre, dans le vide.

Gymnaste : phase ascendante

Au moment où le gymnaste quitte le trampoline verticalement, il possède une vitesse initiale dirigée vers le haut et n’est plus soumis qu’à son poids $\vec{P}$.
Ici, nous allons donc nous intéresser à la phase ascendante du saut.

Caractéristiques du poids :

• direction : verticale ;
• sens : orienté vers le bas ;
• intensité : $\vec{P}=m\vec{g}$.

On réalise une chronophotographie du mouvement à intervalles de temps réguliers $\Delta t=0,1\ \text{s}$, afin d’étudier le mouvement et la variation du vecteur vitesse.

Nous avons construit le tableau ci-dessous, permettant de visualiser la vitesse instantanée à chaque prise de vue. $$v_i=\dfrac{h_{i+1}-h_i}{t_{i+1}-t_i}$$

avec $i$ correspondant au numéro du clichet.

• Calculons la vitesse $v_2$ :

$$v_2=\dfrac{3,16-2,21}{0,3-0,2}=\dfrac{0,95}{0,1}=9,5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$

On remarque que la vitesse du gymnaste diminue, au cours du temps lors de la phase montante.
La vitesse n’est donc pas constante, le gymnaste n’a pas un mouvement rectiligne uniforme mais un mouvement rectiligne ralenti, car le sens de $\vec{v}_{i+1}-\vec{v}_i$ est opposé au mouvement.
Pendant le même intervalle de temps, le gymnaste parcourt une distance de plus en plus petite.

• Ainsi, le vecteur vitesse varie : sa direction reste verticale mais sa norme varie.

Gysmnaste : phase descendante

Lors de la phase ascendante, le gymnaste atteint une vitesse nulle à un instant $t_i$ et à ce moment-là, la phase descendante débute.
Lors de sa chute libre, si sa vitesse initiale est nulle, le système aura une trajectoire verticale.

Ici, nous allons donc nous intéresser à la phase descendante du saut du gymnaste, dans le référentiel galiléen terrestre.
Le gymnaste est donc soumis à son poids $\vec{P}$.

Caractéristiques du poids :

• direction : verticale ;
• sens : orienté le bas ;
• intensité : $\vec{P}=m\vec{g}$.

On réalise une chronophotographie du mouvement à intervalles de temps réguliers $\Delta t=0,1\ \text{s}$, afin d’étudier le mouvement et la variation du vecteur vitesse.

Chute libre d’un corps sans vitesse initiale du point $M$. On a représenté les vecteurs vitesses décalés pour plus de lisibilité, les proportions de leurs normes sont respectées.

Nous avons construit le tableau ci-dessous, permettant de visualiser la vitesse instantanée à chaque prise de vue. $$v_i=\dfrac{|h_i-h_{i+1}|}{t_{i+1}-t_i}$$

avec $i$ correspondant au numéro du clichet.

• Calcul de la vitesse $v_4$

$$v_4=\dfrac{|h_4-h_5|}{0,5-0,4}=\dfrac{|5,89-5,50|}{0,1}=3,92\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$

On remarque que la vitesse du gymnaste augmente lors de la chute. La vitesse n’est donc pas constante, le gymnaste n’a pas un mouvement rectiligne uniforme mais un mouvement rectiligne accéléré, car le sens de $\vec{v}_{i+1}-\vec{v}_i$ est dans le même sens que le mouvement.
Pendant le même intervalle de temps, il parcourt une distance de plus en plus grande.