Cours : Géométrie plane : triangles et projeté orthogonal d'un point sur une droite

Les triangles

Droites particulières du triangle

Nous connaissons bien les hauteurs et les médiatrices d’un triangle. Rappelons leurs définitions.

Définition

Hauteur d’un triangle :

Dans un triangle, une hauteur est la droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé.

• Un triangle a trois hauteurs.

Propriété

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point, que nous notons $H$, appelé orthocentre du triangle.

Définition

Médiatrice d’un segment :

La médiatrice d’un segment est la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par son milieu.

• Un triangle a trois médiatrices, celles de ses trois côtés.

Propriété

Dans un triangle, les médiatrices de chaque côté sont concourantes en un point, que nous notons $O$.

• C’est le centre d’un cercle appelé cercle circonscrit au triangle, c’est-à-dire le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

Le triangle rectangle

Pour commencer, comme nous venons de définir le cercle circonscrit à un triangle, nous pouvons remarquer le cas particulier du triangle rectangle.

Propriété

Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse.

Nous pouvons aussi donner la réciproque de cette dernière propriété, qui peut servir pour montrer qu’un triangle est rectangle.

Propriété

Si les trois sommets d’un triangle sont situés sur un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors le triangle est rectangle, et son hypoténuse est ce diamètre.

Exemple

Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Soit le cercle de diamètre $[AB]$ et un point quelconque $M$ du cercle, distinct de $A$ et $B$.
Le triangle $ABM$ est rectangle, son hypoténuse est $[AB]$, il est donc rectangle en $M$.

Rappelons maintenant le théorème de Pythagore, auquel on fait appel souvent.

Théorème

Théorème de Pythagore et réciproque :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Réciproquement, si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors le triangle est rectangle.

Exemple

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $B$, avec $AB=8\ \text{cm}$ et $BC=15\ \text{cm}$.

Quel est le rayon $r$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ ?

• Utilisons tout d’abord la propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle que nous avons vue.
• $ABC$ est rectangle en $B$. Donc $[AC]$ est le diamètre de son cercle circonscrit.
• Calculons donc la longueur $AC$.

$ABC$ est rectangle en $B$. Donc, d’après le théorème de Pythagore, nous avons :

$$\begin{aligned} AC^2&=AB^2+BC^2 \\ &=8^2+15^2 \\ &=64+225 \\ &=289 \end{aligned}$$

Comme $AC$ est une longueur, elle est positive, donc :

$$AC=\sqrt{289}=17\ \text{cm}$$

• Le rayon $r$ du cercle circonscrit à $ABC$ vaut donc :

$$r=\dfrac {AC}2=\dfrac {17}2=\boxed{8,5\ \text{cm}}$$

Nous allons maintenant redonner les relations trigonométriques qui lient la longueur des côtés d’un triangle rectangle et la mesure de ses angles.

Propriété

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$, avec $\alpha=\widehat {BAC}$.

• Cosinus de l’angle $\alpha$ :

$$\cos{(\alpha)}=\dfrac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}=\dfrac{AB}{AC}$$

• Sinus de l’angle $\alpha$ :

$$\sin{(\alpha)} =\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}=\dfrac{BC}{AC}$$

• Tangente de l’angle $\alpha$ :

$$\tan{(\alpha)} =\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur du côté adjacent}}=\dfrac{BC}{AB}$$

Nous pouvons remarquer que :

$$\begin{aligned} \tan{(\alpha)}&=\dfrac{BC}{AB} \\ &=\dfrac{\frac{BC}{AC}}{\frac{AB}{AC}} \\ &=\dfrac {\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}} \end{aligned}$$

Nous avons une autre propriété importante qui lie le cosinus et le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.

Propriété

Pour tout angle aigu $\alpha$ d’un triangle rectangle, nous avons :

$$\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$$

Démontrons cette propriété avec les définitions des cosinus et sinus que nous venons de rappeler.

Démonstration

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, avec $\alpha=\widehat{BAC}$ :

$$\begin{aligned} \cos{(\alpha)}&=\dfrac {AB}{AC} \\ \sin{(\alpha)}&=\dfrac {BC}{AC} \end{aligned}$$

Nous avons donc :

$$\begin{aligned} \cos^2(\alpha)+\sin^2{\alpha}&=\left(\dfrac {AB}{AC}\right)^2+\left(\dfrac {BC}{AC}\right)^2 \\ &= \dfrac{AB^2}{AC^2}+\dfrac{BC^2}{AC^2} \\ &=\dfrac{AB^2+BC^2}{AC^2} \end{aligned}$$

Or, comme $ABC$ est rectangle en $B$, nous avons, d’après le théorème de Pythagore :

$$AB^2+BC^2=AC^2$$

Finalement, nous obtenons :

$$\begin{aligned} \cos^2(\alpha)+\sin^2{\alpha}&=\dfrac{AC^2}{AC^2} \\ &=1 \end{aligned}$$

Avec le même raisonnement, nous montrons que c’est aussi vrai pour l’angle $\widehat{ACB}$.

Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition et propriété

Définition

Projeté orthogonal d’un point sur une droite :

Soit $M$ un point du plan et $(d)$ une droite.
On appelle projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$ le point d’intersection $H$ de $(d)$ et de la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point $M$.

• Si $M$ appartient à $(d)$, alors $M$ et $H$ sont confondus.

Propriété

Soit $M$ un point du plan, $(d)$ une droite et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$.
Le point $H$ est alors le point de $(d)$ le plus proche de $M$.

• $MH$ est appelé distance du point $M$ à la droite $(d)$.

Cette propriété est assez intuitive, nous pourrions aussi la vérifier graphiquement, avec une règle graduée. Mais nous allons la démontrer mathématiquement.

Démonstration

Soit $M$ un point du plan, $(d)$ une droite, $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$ et $N$ un point de $(d)$ distinct de $H$.

• Cas où $M$ appartient à $(d)$

C’est assez évident, car, dans ce cas, $M$ et $H$ sont confondus, donc $MH=0$.
Or, comme $N$ est distinct de $H$, $HN > 0$, donc la distance $HN$ est supérieure à la distance $MH$.

• Cas où $M$ n’appartient pas à $(d)$

Le triangle $MHN$ est rectangle en $H$. Donc, d’après le théorème de Pythagore :

$$MN^2 = HM^2+HN^2$$

Or, comme $N$ est distinct de $H$, $HN > 0$ et $HN^2 > 0$.
Nous en déduisons que : $MN^2 > HM^2$, soit, puisque ce sont des longueurs, donc positives : $MN > HM$. $H$ est donc plus proche que $N$ de $M$.

• Comme c’est valable pour tout point $N$ de $(d)$ distinct de $H$, le point de $(d)$ le plus proche de $M$ est $H$, son projeté orthogonal sur la droite.

Exemple d’application

Soit le parallélogramme $ABCD$ tel que :

$$\begin{aligned} AB&=5\ \text{cm} \\ AD&=3\ \text{cm} \\ \widehat{BAD}&=55\degree \end{aligned}$$

Voici notre petit exercice :

• Calculer la distance du point $D$ à la droite $(AB)$ en centimètre ; en donner une valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
• En déduire l’aire $\mathcal A$ du parallélogramme $ABCD$ en centimètre carré ; là aussi en donner une valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

Pour cela, nous allons utiliser la définition et la propriété du projeté orthogonal d’un point sur une droite, ainsi que les relations trigonométriques dans un triangle rectangle.

• Distance de $D$ à $(AB)$

Nous l’avons vu, cette distance est égale à la longueur du segment $[DH]$, où $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$ :

Par définition du projeté orthogonal, les droites $(AB)$ et $(DH)$ se coupent en $H$ et sont perpendiculaires. Le triangle $ADH$ est donc rectangle en $H$ et nous avons :

$$\begin{aligned} \sin{(\widehat{HAD})}&=\dfrac {DH}{AD} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} DH&=AD\times \sin{(\widehat{HAD})} \end{aligned}$$

• Nous avons choisi le sinus car nous nous intéressons à la longueur du côté opposé à l’angle dont nous connaissons la mesure, et que nous connaissons aussi la longueur de l’hypoténuse de $ADH$.

Or, nous voyons que $H\in [AB]$, donc : $\widehat{HAD}=\widehat{BAD}$. D’où :

$$\begin{aligned} DH&=AD\times \sin{(\widehat{BAD})} \\ &=\boxed{3 \sin{(55\degree)}\approx 2,46\ \text{cm}} \end{aligned}$$

• Aire de $ABCD$

Nous savons depuis la cinquième que l’aire d’un parallélogramme est égale à :

$$\text{base}\times \text{hauteur associée}$$

Or, puisque $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$, $[DH]$ est la hauteur associée à la base $[AB]$, et nous obtenons l’aire $\mathcal A$ de $ABCD$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=AB\times DH \\ &=5\times 3\sin{(55\degree)} \\ &=\boxed{15\sin{(55\degree)}\approx 12,29\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

Approfondissement : le théorème d’Al-Kashi

Le théorème de Pythagore nous donne, dans un triangle rectangle, le lien entre la longueur de ses côtés. Nous allons découvrir dans cette dernière partie, en utilisant quelques-unes de propriétés que nous venons de voir, un théorème qui nous donne, cette fois dans un triangle quelconque, le lien entre la longueur de ses côtés et la mesure de ses angles.

Considérons un triangle $ABC$ quelconque, dont tous les angles sont aigus. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.

• Les angles sont aigus, donc $H$ appartient à $[AC]$.

Nous posons :

• $a=BC$ ($a$ est la longueur du côté opposé à $A$) ;
• $b=AC$ ($b$ est la longueur du côté opposé à $B$) ;
• $c=AB$ ($c$ est la longueur du côté opposé à $C$) ;
• $\alpha=\widehat {BAC}$.

• Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$. Nous avons alors :

$$\begin{aligned} \cos{(\alpha)}&=\dfrac {AH}{AB}=\dfrac {AH}c \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} AH&=c\cos{(\alpha)} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} HC&= b-c\cos{(\alpha)} \end{aligned}$$

Nous avons aussi :

$$\begin{aligned} \sin{(\alpha)}&=\dfrac{BH}c \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} BH&=c\sin{(\alpha)} \end{aligned}$$

• Le triangle $BCH$ est aussi rectangle en $H$. Nous avons alors, d’après le théorème de Pythagore :

$$\begin{aligned} a^2&=HC^2+BH^2 \\ &=\purple{\big(b-c\cos{(\alpha)}\big)^2}+\big(c\sin{(\alpha)}\big)^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après les résultats du point 1]}}} \\ &=\purple{b^2-2bc\cos{(\alpha)}+\big(c\cos{(\alpha)}\big)^2}+c^2\sin^2(\alpha) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec une identité remarquable]}}} \\ &=b^2-2bc\cos{(\alpha)}+\green{c^2}\cos^2(\alpha)+ \green{c^2}\sin^2(\alpha) \\ &=b^2+\green{c^2}\big(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)\big)-2bc\cos{(\alpha)} \end{aligned}$$

Or, nous avons vu dans la première partie que, pour tout angle aigu $\alpha$ d’un triangle rectangle (en l’occurrence $ABH$) :

$$\cos^2(\alpha)+ \sin^2(\alpha)=1$$

• Nous obtenons donc :

$$\boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos{(\alpha)}}$$

On admet que c’est également vrai pour les autres angles, ou dans le cas d’un angle obtus.
Nous comprenons mieux les égalités du théorème d’Al-Kashi, que nous donnons maintenant.

Théorème

Théorème d’Al-Kashi (ou loi des cosinus) :

Nous considérons le triangle quelconque $ABC$ suivant :

Nous avons alors :

$$\begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos{(\alpha)} \\ b^2&=a^2+c^2-2ac\cos{(\beta)} \\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos{(\gamma)} \\ \end{aligned}$$

Astuce

Le théorème d’Al-Kashi permet, dans un triangle quelconque :

• de déterminer la mesure des angles si on connaît la longueur de ses côtés ;
• de déterminer la longueur d’un côté si on connaît un angle et la mesure des deux côtés qui le forment.

Exemple

Soit le triangle quelconque $DEF$ suivant :

Nous cherchons à déterminer la longueur du côté $[EF]$ et la mesure des angles $\beta$ et $\gamma$ en degré, arrondie au degré près.

On donne aussi : $\cos{(60\degree)}=\frac 12$.

• Calcul de $EF$

D’après le théorème d’Al-Kashi, nous avons :

$$\begin{aligned} EF^2&=DE^2+DF^2 -2\times DE\times DF\times \cos{(\alpha)} \\ &=4^2+6^2-2\times 4\times 6\times \cos{(60\degree)} \\ &=16+36-48\times \dfrac 12 \\ &=28 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} EF&=\sqrt{28}=\boxed{2\sqrt{7}\approx 5,29\ \text{cm}} \end{aligned}$$

• Calcul de $\beta$

Toujours d’après le théorème d’Al-Kashi :

$$\begin{aligned} DF^2&=DE^2+EF^2-2\times DE\times EF\times \cos{(\beta)} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} \cos{(\beta)}&=\dfrac{DE^2+EF^2-DF^2}{2\times DE\times EF} \\ &=\dfrac{16+28-36}{2\times 4\times 2\sqrt{7}} \\ &=\dfrac 8{16\sqrt{7}} \\ &=\dfrac 1{2\sqrt{7}} \\ &=\dfrac {1\times \sqrt{7}}{2\times \sqrt{7}\times \sqrt{7}} \\ &=\dfrac {\sqrt{7}}{14} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car on préfère ne pas avoir une racine carrée au dénominateur]}}} \end{aligned}$$

Quand on connaît le cosinus d’un angle, pour avoir une valeur approchée de sa mesure, on utilise la fonction $\cos^{-1}$ (ou $\arccos$) de la calculatrice :

$$\begin{aligned} \beta &= \cos^{-1}\left(\dfrac {\sqrt{7}}{14}\right) \\ &\approx \boxed{79 \degree} \end{aligned}$$

• Calcul de $\gamma$

Nous pourrions faire de même pour calculer $\gamma$, mais nous savons que la somme des angles d’un triangle est égale à $180\degree$. Nous avons donc :

$$\begin{aligned} \gamma&= 180-\alpha-\beta \\ &\approx 180-60-79 \\ &\approx \boxed{41\degree} \end{aligned}$$

Continuons encore un peu, en reprenant le triangle initial de cette partie :

Nous savons que l’aire $\mathcal A$ du triangle $ABC$ est égale à :

$$\mathcal A=\dfrac 12\times \text{base}\times \text{hauteur associée}$$

Si $[AC]$ est la base que nous considérons, $[BH]$ est la hauteur associée.

• Nous obtenons donc :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=\dfrac 12\times AC\times BH \\ &=\dfrac 12 bc\sin{(\alpha)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $AC=b$ et $BH=c\sin{(\alpha)}$]}}} \end{aligned}$$

Dans un triangle quelconque, la connaissance de la mesure d’un angle et de la longueur des côtés qui le forment suffit pour calculer son aire !

Propriété

Nous considérons le triangle quelconque $ABC$ suivant :

Son aire $\mathcal A$ est égale à :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=\dfrac 12bc\sin{(\alpha)} \\ &=\dfrac 12ac\sin{(\beta)} \\ &=\dfrac 12ab\sin{(\gamma)} \end{aligned}$$

Exemple

Nous pouvons ainsi calculer facilement l’aire $\mathcal A$ du triangle $DEF$ de l’exemple précédent, et ce avec les seules données initiales ($\alpha=60\degree$, $DE=4\ \text{cm}$ et $DF=6\ \text{cm}$).
Nous donnons aussi : $\sin{(60\degree)}=\frac {\sqrt{3}}2$.

$$\begin{aligned} \mathcal A&=\dfrac 12\times DE\times DF\times \sin{(\alpha)} \\ &=\dfrac 12\times 4\times 6\times \sin{(60\degree)} \\ &=12\times \dfrac {\sqrt{3}}2 \\ &=\boxed{6\sqrt{3}\approx 10,39\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$