Fiche de révision : Le second degré

Fonction polynôme du second degré

• Une fonction polynôme de degré $2$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme : $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.
• Les réels $a$, $b$ et $c$ sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
• L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée de $f(x)$, appelée aussi trinôme du second degré.
• Toute fonction polynôme de degré $2$ (de forme développée $ax^2+bx+c $) admet une écriture de la forme : $a(x-\alpha)^2+\beta$
• $\alpha=-\dfrac{b} {2a}$
• $\beta=f (\alpha)$
• Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.
• Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.
• Si $a>0$
• $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$, puis strictement croissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ :
• $f$ admet un minimum $\beta$, atteint en $x=\alpha$.
• La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha\ ;\ \beta)$ et avec les branches tournées vers le haut.
• Si $a<0$
• $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$, puis strictement décroissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ :
• $f$ admet un maximum $\beta$, atteint en $x=\alpha$.
• La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha\ ;\ \beta)$ et avec les branches tournées vers le bas.

Équation du second degré

• Une équation du second degré, d’inconnue $x$, est une équation qui peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$.
• $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels donnés, avec $a\neq0$.
• Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme $ax^2+bx+c$.
• Pour résoudre une équation du second degré, on calcule tout d’abord le discriminant $\Delta$ du trinôme $ax^2+bx+c $.
• $\Delta=b^2-4ac$
• Si $\Delta>0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions distinctes :
• $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a}$
• $x_2=\dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}$
• Si $\Delta=0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution :
• $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
• Si $\Delta<0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution.
• Soit $ax^2+bx+c=0$ une équation du second degré, avec $a\neq0$ et $\Delta\geq0$.
• Somme des deux racines $x_1$ et $x_2$ : $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$.
• Produit des deux racines $x_1$ et $x_2$ : $P=x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$.
• Ainsi, si on connaît une (évidente ou non) des deux solutions d’une équation du second degré, on peut déterminer la deuxième en utilisant leur somme ou leur produit.
• Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$, un trinôme du second degré.
• Si $\Delta>0$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme.
• Si $\Delta=0$, $f(x)=a(x-x_0)^2$, où $x_0$ est la racine du trinôme.
• Si $\Delta<0$, alors $f(x)$ ne se factorise pas.

Inéquation du second degré

• On considère le trinôme du second degré $ax^2+bx+c$.
• Si $\Delta>0$, le trinôme est :
• du signe de $a$ sur $]-\infty\ ;\ x_1[$ et sur $]x_2\ ;\ +\infty[$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme,
• du signe contraire de $a$ sur $]x_1\ ;\ x_2[$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme.
• Si $\Delta=0$, le trinôme :
• est du signe de $a$ pour tout réel $x\neq x_0$,
• s’annule pour $x=x_0$.
• Si $\Delta<0$, pour tout réel $x$, le trinôme est du signe de $a$.
• En construisant un tableau de signes, il est possible de résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.