Cours : Le théorème de Thalès

Théorème des milieux

Théorème

Théorème des milieux :

• Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.
• De plus, le segment qui joint les milieux des deux côtés a une longueur égale à la moitié de celle du troisième côté.

On considère le triangle quelconque $ABC$, avec $I$ milieu de $[AB]$ et $J$ milieu de $[AC]$.

Le théorème des milieux nous permet d’affirmer que :

• les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles ;
• $IJ=\frac{BC}2$.

Nous pouvons, avec nos connaissances actuelles, démontrer ce théorème ; cela nous permettra notamment de revoir des propriétés importantes d’un parallélogramme.

Démonstration

On reprend le triangle $ABC$ représenté ci-dessus, avec $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$. Et on veut donc montrer que :

• $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles ;
• $IJ=\frac {BC}2$.

On place maintenant le point $K$, symétrique de $I$ par rapport à $J$.

• Le point $J$ est donc le milieu du segment $[IK]$.
• Par construction, $J$ est aussi le milieu de $[AC]$.

$\textcolor{#FF7F00}{[AC]}$ et $\textcolor{#FF7F00}{[IK]}$ sont les diagonales du quadrilatère $\textcolor{#FF00FF}{AICK}$. Ces diagonales ont le même milieu.

• C’est donc un parallélogramme.

Construction du parallélogramme AICK

Comme $\textcolor{#FF00FF}{AICK}$ est un parallélogramme et que $I$ est le milieu de $[AB]$ :

• $[CK]$ est parallèle à $[AI]$, et donc à $[BI]$ ;
• $[CK]$ a la même longueur que $[AI]$, et donc que $[BI]$.

$\red{BCKI}$, cette fois, est un quadrilatère (non croisé) dont deux côtés opposés, $[CK]$ et $[BI]$, sont parallèles et de même longueur.

• C’est donc aussi un parallélogramme.

Représentation du parallélogramme BCKI

Puisque $\red{BCKI}$ est un parallélogramme, $[BC]$ et $[IK]$ sont parallèles. Et, $J$ appartenant à $[IK]$, les segments $[BC]$ et $[IJ]$ sont parallèles.

• Ainsi, les droites $(BC)$ et $(IJ)$ sont parallèles.

Toujours parce que $BCKI$ est un parallélogramme, on a : $BC=IK$.
Or, $J$ étant le milieu de $[IK]$ :

$$\begin{aligned} IK=2\times IJ&=BC \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} IJ&=\dfrac {BC}2 \end{aligned}$$

• La longueur du segment $[IJ]$ est égale à la moitié de celle du segment $[BC]$.

Donnons enfin la réciproque du théorème des milieux.

Théorème

Réciproque du théorème des milieux :

• Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le dernier côté en son milieu.

Théorème de Thalès et calculs de longueur

Le théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès.
On peut, à partir de ce théorème des milieux, faire des constations qui amènent aux égalités données par le théorème de Thalès.

• L’exercice « Du théorème des milieux vers le théorème de Thalès » vous permettra de voir comment.

Théorème de Thalès

Théorème

Théorème de Thalès (configuration des triangles « emboîtés ») :

On considère un triangle $ABC$ et deux points $M$ et $N$ tels que :

• $M$ est un point de la demi-droite $[AB)$ distinct de $A$ ;
• $N$ est un point de la demi-droite $[AC)$ distinct de $A$ ;
• $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
• On a alors :

$$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac {MN}{BC}$$

Avec $M$ qui appartient à $[AB)$ et $N$ qui appartient à $[AC)$, deux configurations sont possibles :

Effectuons quelques remarques.

• Les triangles $\textcolor{#7F00FF}{ABC}$ et $\textcolor{#009900}{AMN}$ sont semblables.
• Leurs angles sont deux à deux de même mesure.
• L’un des triangles est l’agrandissement de l’autre (et ce dernier est alors une réduction du premier).
• Les longueurs des côtés des deux triangles sont proportionnelles deux à deux :

On retrouve ainsi les égalités du théorème de Thalès :

$$\textcolor{#FF8000}k=\boxed{\dfrac{\textcolor{#009900}{AM}}{\textcolor{#7F00FF}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#009900}{AN}}{\textcolor{#7F00FF}{AC}}= \dfrac{\textcolor{#009900}{MN}}{\textcolor{#7F00FF}{BC}}}$$

On peut d’ailleurs aussi écrire :

$$\textcolor{#FF8000} {\dfrac 1k} =\boxed{\dfrac{\textcolor{#7F00FF}{AB}}{\textcolor{#009900}{AM}} =\dfrac{\textcolor{#7F00FF}{AC}}{\textcolor{#009900}{AN}}=\dfrac{\textcolor{#7F00FF}{BC}}{\textcolor{#009900}{MN}}}$$

Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès

À retenir

Le théorème de Thalès permet notamment de calculer des longueurs. Pour cela :

• on veillera à ce que les conditions du théorème soient bien vérifiés ;
• on écrira les égalités entre les quotients, en faisant bien attention à mettre aux numérateurs les longueurs d’un même triangle, et aux dénominateurs les longueurs des côtés homologues de l’autre triangle ;
• on se servira des longueurs connues pour déterminer, grâce aux égalités de quotients, les longueurs manquantes.

Illustrons la méthode à utiliser sur un exemple.

Exemple

Représentation de la figure

Sur cette figure :

• les droites $(GI)$ et $(ZE)$ sont sécantes en $H$ ;
• les droites $(GZ)$ et $(IE)$ sont parallèles ;
• on connaît les longueurs suivantes :

$$\begin{aligned} HI&=5,8\ \text{cm} \\ HZ&=13,2\ \text{cm} \\ IE&=5\ \text{cm} \\ GZ&=8\ \text{cm} \end{aligned}$$

• On cherche à déterminer les longueurs $IG$ et $EZ$.

On connaît les longueurs $HI$ et $HZ$. On se dit alors que la connaissance des longueurs $HG$ et $HE$ nous permettrait de déterminer celles de $GI$ et $ZE$.
Or, on remarque que les différentes droites forment deux triangles « emboîtés » : $HGZ$ et $HIE$. On pense alors au théorème de Thalès, et on vérifie que les conditions d’application sont bien respectées.

• D’après la figure :
• $I$ est un point de la demi-droite $[HG)$ distinct de $H$ ;
• $E$ est un point de la demi-droite $[HZ)$ distinct de $H$ ;
• $(IE)$ et $(GZ)$ sont parallèles (par hypothèse).
• On peut donc appliquer le théorème de Thalès aux triangles $\textcolor{#7F00FF}{HGZ}$ et $\textcolor{#009900}{HIE}$.

Mettons-les en valeur, en notant les longueurs connues pour mieux nous représenter la situation :

Triangles HGZ et HIE

Écrivons les quotients donnés par le théorème de Thalès :

$$\dfrac{\textcolor{#009900}{HI}}{\textcolor{#7F00FF}{HG}} = \dfrac{\textcolor{#009900}{HE}}{\textcolor{#7F00FF}{HZ}}= \dfrac{\textcolor{#009900}{IE}}{\textcolor{#7F00FF}{GZ}}$$

Mettons-les valeurs connues :

$$\dfrac{\textcolor{#009900}{5,8}}{\textcolor{#7F00FF}{HG}} = \dfrac{\textcolor{#009900}{HE}}{\textcolor{#7F00FF}{13,2}}= \dfrac{\textcolor{#009900}{5}}{\textcolor{#7F00FF}{8}}$$

• On a ainsi, d’une part :

$$\dfrac{5,8}{HG}=\dfrac 58$$

On peut utiliser la règle de trois :

$$HG=\dfrac {8\times 5,8}5=9,28$$

• On en déduit la longueur $IG$ :

$$IG=HG-HI=9,28-5,8=\boxed{3,48}$$

Le segment $[IG]$ mesure $3,48\ \text{cm}$.

• D’autre part, et de la même façon, on a :

$$\begin{aligned} \dfrac {HE}{13,2}&=\dfrac 58 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} HE&=\dfrac {5\times 13,2}8=8,25 \end{aligned}$$

• On en déduit la longueur $EZ$ :

$$EZ=HZ-HE=13,2-8,25=\boxed{4,95}$$

Le segment $[EZ]$ mesure $4,95\ \text{cm}$.

Réciproque du théorème de Thalès et parallélisme

Le théorème de Thalès nous a permis de calculer des longueurs dans certaines situations. Nous allons maintenant voir comment sa réciproque nous permet de montrer que deux droites sont parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès

Théorème

Réciproque du théorème de Thalès (configuration des triangles « emboîtés ») :

On considère un triangle $ABC$ et deux points $M$ et $N$ tels que :

• $M$ est un point de la demi-droite $[AB)$ distinct de $A$ ;
• $N$ est un point de la demi-droite $[AC)$ distinct de $A$.

Si $\dfrac {AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Si on a $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$ ou $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$, alors on peut aussi conclure que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

À retenir

En pratique, on choisira donc l’égalité à vérifier en fonction des longueurs qui sont connues.

• Si elle est vérifiée, alors la réciproque du théorème de Thalès permet d’affirmer que les droites sont parallèles.
• Si elle ne l’est pas, alors on peut affirmer que les droites ne sont pas parallèles.

Astuce

Dans le cas où l’égalité n’est pas vérifiée, c’est ce qu’on appelle la contraposée du théorème de Thalès qui permet de conclure que les droites ne sont pas parallèles.
En effet, le théorème dit que, si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les égalités entre les quotients sont nécessairement vraies.

• Donc, s’il n’y a pas égalité entre deux quotients, les droites ne peuvent pas être parallèles.

On peut maintenant aussi voir en quoi le théorème des milieux est un cas particulier de Thalès. Il s’agit simplement du cas où $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$.
On a alors : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac 12$.

• Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Et, puisque les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, on est en situation d’appliquer le théorème de Thalès, pour obtenir :

$$\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac 12$$

On a donc : $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac 12$, d’où : $MN=\dfrac{BC}2$.

• La longueur du segment $[MN]$ est égale à la moitié de celle du segment $[BC]$.

Application

Énoncé

On considère la figure suivante :

On connaît les longueurs suivantes :

$$\begin{array}{ll} \textcolor{#003399}{AB=7,2\ \text{cm}} & \textcolor{#003399}{BC=5,1\ \text{cm}} & \textcolor{#003399}{AC=5,9\ \text{cm}} \\ \textcolor{#FF7F00}{AI=4,32\ \text{cm}} & \textcolor{#FF7F00}{AJ=3,54\ \text{cm}} & \textcolor{#FF00FF}{AL=10,03\ \text{cm}} \\ \textcolor{#FF00FF}{KL=8,67\ \text{cm}} & \textcolor{#00CC00}{AO=14,4\ \text{cm}} & \textcolor{#00CC00}{AP=11,7\ \text{cm}} \end{array}$$

Les droites $(IJ)$, $(KL)$ et $(OP)$ sont-elles parallèles à $(BC)$ ?

Corrigé

En préambule, on peut voir que $ABC$ est un triangle dont on connaît les longueurs de tous les côtés, et que :

• les points $I$, $K$ et $O$ appartiennent à la demi-droite $[AB)$ ;
• les points $J$, $L$ et $P$ appartiennent à la demi-droite $[AC)$.

On a donc bien les conditions requises pour appliquer la réciproque, ou la contraposée, du théorème de Thalès.

• Droite $(IJ)$

On connaît les longueurs $AI$ et $AJ$.
Pour vérifier si l’égalité de Thalès est vraie, on s’intéresse donc aux quotients $\dfrac{AI}{AB}$ et $\dfrac{AJ}{AC}$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{AI}{AB}&=\dfrac{4,32}{7,2}=\green{0,6} \\ \dfrac{AJ}{AC}&=\dfrac{3,54}{5,9}=\green{0,6} \end{aligned}$$

Les deux quotients sont égaux.

• D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Astuce

Pour tester une égalité entre quotients, on peut aussi se servir du produit en croix, ce qui permet de travailler avec des valeurs exactes.
Ici, pour vérifier si les quotients $\dfrac{\red {4,32}}{\blue{7,2}}$ et $\dfrac{\blue{3,54}}{\red{5,9}}$ sont égaux, en passant par les produits en croix :

• d’une part : $\red{4,32}\times \red{5,9}=25,488$ ;
• d’autre part : $\blue{7,2}\times \blue{3,54}=25,488$.
• Les produits en croix sont égaux, donc les quotients sont égaux.

• Droite $(KL)$

Ici, on connaît les longueurs $AL$ et $KL$.
On s’intéresse donc aux quotients $\dfrac{AL}{AC}$ et $\dfrac{KL}{BC}$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{AL}{AC}&=\dfrac{10,03}{5,9}=\green{1,7} \\ \dfrac{KL}{BC}&=\dfrac{8,67}{5,1}=\green{1,7} \end{aligned}$$

Les deux quotients sont égaux.

• D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(KL)$ et $(BC)$ sont parallèles.
• Droite $(OP)$

Connaissant les longueurs $AO$ et $AP$, on s’intéresse aux quotients $\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{14,4}{7,2}$ et $\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{11,7}{5,9}$, cette fois en utilisant les produits en croix :

• d’une part : $14,4\times 5,9=84,96$ ;
• d’autre part : $7,2\times 11,7=84,24$.

Les produits en croix sont différents, les quotients ne sont donc pas égaux.

• D’après le théorème de Thalès (et plus précisément sa contraposée), les droites $(KL)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Astuce

Dans ce cas particulier, on aurait aussi pu remarquer que la longueur de $[AO]$ est le double de celle de $AB$, $B$ est donc le milieu de $[AO]$.
Or, la longueur de $[AP]$ n’est pas égale au double de celle de $[AC]$, donc $C$ n’est pas le milieu de $[AP]$.
Dans le triangle $AOP$, $(BC)$ passe par le milieu du côté $[AO]$, mais pas par celui de $[AP]$.

• Par conséquence du théorème des milieux, les droites $(BC)$ et $(OP)$ ne peuvent pas être parallèles.

Attention

Veillez à ne pas trop vous fier aux apparences d’une représentation graphique.
Sur celle que nous avons donnée, la droite $(OP)$ semble parallèle à la droite $(KL)$, dont nous avons montré qu’elle est parallèle à $(BC)$. Pourtant, nous venons de montrer qu’elles ne le sont pas !