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Cours : Les équations et inéquations

Les équations et inéquations

Introduction :

Il est souvent plus facile de résoudre un problème concret en le mettant en équation ou en inéquation. Nous allons donc apprendre à résoudre ces équations ou inéquations avec des règles de calculs précises et ainsi trouver la ou les solutions du problème.

Dans un premier temps, nous verrons les égalités et les opérations. Dans une deuxième partie, nous nous intéresserons à la notion d’équation. Puis, nous étudierons les inéquations pour terminer par la résolution d’un problème.

Égalités et opérations

Lorsque l’on résout une équation, il faut faire attention à manipuler les deux parties de l’égalité de façon à ce qu’elles aient toujours la même valeur.

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Rappel

  • Une égalité ne change pas lorsqu’on ajoute ou qu’on soustrait un même nombre à chacun de ses membres.
  • Une égalité ne change pas lorsqu’on multiplie ou qu’on divise chacun de ses membres par un même nombre non nul.

Il faut faire attention à manipuler les deux parties de l’égalité de façon à ce qu’elles aient toujours la même valeur. De plus, on ne divise jamais par l’inconnue, au cas où celle-ci serait égale à $0$.

Ces règles sont très importantes lors de la résolution d’équations.

Équations

Définition

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Définition

Équation :

Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre et appelé « inconnue ». On appelle « solutions de l’équation » la ou les valeurs de ce nombre pour lesquelles l’égalité est vraie.

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Exemple

Considérons l’équation d’inconnue $x$ : $4x-3=1-7x$

  • $4x-3$ est appelé premier membre de l’équation
  • $1-7x$ est appelé deuxième membre de l’équation

Le nombre $5$ est-il une solution de cette équation ?

  • On calcule le premier membre pour $x = 5$ :
  • $4 ×5-3=20-3=17$
  • On calcule le deuxième membre pour $x = 5$ :
  • $1-7×5=1-35=-34$

On n’obtient pas le même résultat : $5$ n’est donc pas une solution de cette équation.

Équation de référence

  • Équation de la forme $a+x=b$ d’inconnue $x$
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Propriété

L’équation d’inconnue $x$ et de la forme $a+x=b$ admet une seule solution : $x=b-a$.

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Exemple

L’équation $4+x=-10$ admet pour unique solution $x=-10-4$, c’est-à-dire $x=-14$.

  • Équation de la forme $ax=b$ avec $a≠0$, d’inconnue $x$
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Propriété

L’équation d’inconnue $x$ et de la forme $ax=b$, avec $a$ non nul, admet une seule solution : $x=\dfrac{b}{a}$.

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Exemple

L’équation $-3x=-6$ admet pour unique solution $x=\dfrac{-6}{-3}$, c’est-à-dire $x=2$.

Inéquations

Définition

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Définition

Inéquation :

Une inéquation est une inégalité dans laquelle une lettre désigne une inconnue. Elle se note avec les symboles $<$ (inférieur à) et $>$ (supérieur à). On dit qu’un nombre est une solution d’une inéquation si on obtient une inégalité qui est vraie quand on remplace l’inconnue par ce nombre dans l’inéquation. Résoudre une inéquation consiste à trouver l’ensemble des solutions qui rendent vraie l’inégalité.

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Exemple

  • $0$ est-t-il solution de l’inéquation $2x-3<5$ ?
  • $2\times0-3=-3<5$ donc $0$ est solution de l’inéquation.
  • $3$ est-t-il solution de l’inéquation $2x-3<5$ ?
  • $2\times3-3=3<5$ donc $3$ est solution de l’inéquation.

Propriétés des inégalités

  • Addition ou soustraction et inégalités
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Propriété

$a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres relatifs.

  • Si $a\leq{b}$, alors $a+c\leq{b+c}$.
  • Si $a\leq{b}$, alors $a-c\leq{b-c}$.
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Exemple

Si $x+5<1$, alors $x + 5-5<1-5$, donc $x<-4$.

  • Multiplication et inégalités
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Propriété

$a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres relatifs.

  • Si $a\leq{b}$ et $c>0$, alors $a×c\leq{b}\times{c}$.
  • Si $a\leq{b}$ et $c<0$, alors $a\times{c}\geq{b}\times{c}$.
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Exemple

Si $4x<12$ alors $x<\dfrac{12}{4}$ d’où $x<3$

Représentation graphique des solutions de l’inéquation

Nous représentons les solutions d’une inéquation sur une droite graduée. Elles sont surlignées en couleur.

Représentation des solutions d’une inéquation sur une droite graduée Représentation des solutions d’une inéquation sur une droite graduée

Ici, on utilise le signe « inférieur ou égal » : le crochet est tourné vers la partie de la droite qui correspond aux solutions, car $7$ fait partie des solutions.

Représentation des solutions d’une inéquation sur une droite graduée Représentation des solutions d’une inéquation sur une droite graduée

Ici, on utilise le signe « strictement supérieur » : le crochet est tourné vers la partie de la droite qui ne correspond pas aux solutions, car $-10$ ne fait pas partie des solutions.

Résolution d’un problème

Méthodologie

La résolution d’une équation comporte 5 étapes :

  • Choix de l’inconnue
  • Traduction de l’énoncé par une équation
  • Résolution de l’équation : cela consiste à isoler l’inconnue dans l’un des membres
  • Vérification : il faut vérifier que la solution répond bien au problème.
  • Conclusion

La résolution d’une inéquation comporte 5 étapes :

  • Choix de l’inconnue
  • Traduction de l’énoncé par une inéquation
  • Résolution de l’inéquation : cela consiste à isoler l’inconnue dans l’un des membres
  • Compatibilité : la résolution de l’inéquation donne un ensemble de solutions. Or, il faut parfois en écarter certaines car elles sont « incompatibles » ou ne correspondent pas au problème concret.
  • Conclusion

Exemples

Dans une cafétéria, le prix d’un repas adulte est deux fois plus cher que le prix d’un repas enfant. À midi, un couple et leurs trois enfants ont dépensé $24,50$ €. Quel est le prix d’un repas enfant ?

  • On pose $x$ le prix d’un repas enfant.
  • $\begin{aligned} 2\times2x+3x&= 24,5 \\ 7x&=24,5 \end{aligned}$
  • $x=\dfrac{24,5}{7}=3,5$
  • $2\times2\times3,5+3\times3,5=24,5$.
    La solution correspond bien au problème.
  • Le prix d’un repas enfant est donc de $3,50$ €.

Marie veut acheter une théière qui coûte $28,50$ €, une boîte à thé qui coûte $7$ € et deux bols identiques. Elle se demande comment choisir le prix d’un bol pour pouvoir payer avec $2$ billets de $20$ €. Trouver la réponse à ce problème.

  • On pose $x$ le prix d’un bol.
  • $28,5 +7+2x\leq40$
  • $\begin{aligned} 35,5 +2x&\leq40 \\ 2x&\leq40-35,5 \\ 2x&\leq4,5 \end{aligned}$
  • $x\leq\dfrac{4,5}{2}$ donc $x\leq2,25$
  • Le prix d’un bol doit donc être inférieur ou égal à $2,25$ €. Représentation graphique :

Alt texte

Conclusion :

Une équation et une inéquation sont respectivement une égalité et une inégalité mathématiques. Elles sont composées de termes que l’on connaît et d’autres que l’on ne connaît pas mais que l’on cherche à calculer. Une équation ou une inéquation sont comme une question que l’on se pose, une énigme : que vaut l’inconnue ?
Lorsqu’on est face à un problème mathématique, on identifie l’inconnue et on écrit l’égalité, ou inégalité, qui la relie aux termes connus. On isole ensuite cette inconnue dans un seul des deux termes, et on détermine ainsi la ou les solutions du problème.