Cours : Les fractions décimales

Fraction décimale

Rappel

Une fraction décimale est une fraction dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est $10$, $100$, $1\ 000$, $10\ 000$…

Exemple

$\frac{183}{10}$, $\frac{15}{100}$ et $\frac{1}{1\ 000}$ sont des fractions décimales.

$\frac 97$ et $\frac{42,5}{100}$ ne sont pas des fractions décimales.

• $\frac{\blue 1}{\red {10}}$ se lit « un dixième » : cela représente $\blue 1$ part de l’unité partagée en $\red {10}$ parts égales.
• $\frac{\blue 1}{\red {100}}$ se lit « un centième » : cela représente $\blue 1$ part de l’unité partagée en $\red {100}$ parts égales.
• $\frac{\blue 1}{\red {1\ 000}}$ se lit « un millième » : cela représente $\blue 1$ part de l’unité partagée en $\red {1\ 000}$ parts égales.

À retenir

Un entier peut toujours s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

Exemple

$17=\frac{170}{10}=\frac{1\ 700}{100}=\frac{17\ 000}{1\ 000}=…$

À retenir

Une fraction ne peut pas toujours s’écrire sous la forme d’une fraction décimale

Exemple

$\frac 14$ peut s’écrire $\frac{25}{100}$.

$\frac 12$ peut s’écrire $\frac{5}{10}$ ou $\frac{50}{100}$.

$\frac 34$ peut s’écrire $\frac{75}{100}$.

En revanche, $\frac 13$ n’admet pas de forme décimale.

Décomposition d’une fraction décimale

À retenir

Décomposer une fraction décimale, c’est l’écrire sous la forme d’une somme d’un nombre entier (le plus grand possible) et de fractions décimales inférieures à $1$ (une en dixièmes + une en centièmes + une en millièmes…).

MÉTHODOLOGIE

Pour décomposer une fraction décimale :

• on écrit d’abord son numérateur sous la forme d’une décomposition additive en commençant par le rang indiqué par le dénominateur :
• si le dénominateur est $10$, la décomposition additive commencera au rang des dizaines ;
• si le dénominateur est $100$, la décomposition additive commencera au rang des centaines ;
• si le dénominateur est $1\ 000$, la décomposition additive commencera au rang des milliers ;
• etc.
• grâce à cette décomposition additive, on peut décomposer la fraction initiale en une somme de fractions décimales ;
• on simplifie ces fractions décimales de manière à obtenir la décomposition attendue.

Exemple

Décomposition de la fraction décimale $\frac{84\ 327}{1\ 000}$

• Le dénominateur de la fraction est $1000$. La décomposition additive du numérateur commencera au rang des milliers. Ainsi : $84\ 327 = 84\ 000 + 300 + 20 + 7$

• On peut alors écrire $\frac{84\ 327}{1000}=\frac{84\ 000+300+20+7}{1\ 000}=\frac{84\ 000}{1\ 000}+\frac{300}{1\ 000}+\frac{20}{1\ 000}+\frac{7}{1\ 000}$

• En simplifiant, on obtient $\frac{84\ 327}{1\ 000}=84+\frac{3}{10}+\frac{2}{100}+\frac{7}{1\ 000}$

• La décomposition de la fraction décimale $\frac{84\ 327}{1\ 000}$ est donc : $84+\frac{3}{10}+\frac{2}{100}+\frac{7}{1\ 000}$

À travers ce type de décomposition, on entrevoit déjà le lien avec les nombres décimaux. C’est ce que nous allons établir maintenant.

Fraction décimale et nombre décimal

La fraction décimale est l’élément qui définit un nombre décimal puisqu’un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

La fraction décimale est une forme d’écriture d’un nombre décimal parmi d’autres puisque tout nombre décimal peut s’écrire sous différentes formes : écriture fractionnaire, décimale, en lettres ou encore en décomposition.

Propriété

Toute fraction décimale peut s’écrire en écriture décimale.

Cette propriété se démontre facilement à l’aide de la méthode de décomposition d’une fraction décimale.

Reprenons l’exemple de la fraction décimale $\frac{84\ 327}{1\ 000}$.

Sa décomposition a donné le résultat suivant : $$\frac{84\ 327}{1\ 000}=\blue{\underbrace{84}_\text{Partie entière}}+\red{\underbrace{\frac {3}{10} + \frac {2}{100} + \frac {7}{1\ 000}}_\text{Partie décimale}}$$

On reconnait ici la décomposition d’un nombre décimal dont la partie entière est $84$ et la partie décimale est $3$ dixièmes $2$ centièmes et $7$ millièmes. Son écriture décimale est $84,327$.

Ainsi, la fraction décimale $\frac{84\ 327}{1\ 000}$ peut s’écrire sous l’écriture décimale $84,327$.

• On peut écrire $\frac{84\ 327}{1\ 000}= 84,327$.

Ce résultat établit également la méthodologie pour passer de l’écriture fractionnaire d’un nombre décimal à son écriture décimale.

Rappel

Pour passer de l’écriture fractionnaire d’un nombre à son écriture décimale :

• le dénominateur de la fraction décimale détermine le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché :
• si le dénominateur est $10$, le rang du dernier chiffre sera celui des dixièmes (1^er chiffre après la virgule) ;
• si le dénominateur est $100$, le rang du dernier chiffre sera celui des centièmes (2^e chiffre après la virgule) ;
• si le dénominateur est $1\ 000$, le rang du dernier chiffre sera celui des millièmes (3^e chiffre après la virgule) ;
• etc.
• Le nombre à virgule recherché est le numérateur de la fraction décimale auquel on rajoute une virgule de telle sorte que son dernier chiffre corresponde au rang déterminé à l’étape 1.
  Autrement dit, on positionne une virgule à la fin du numérateur et on la décale vers la gauche d’autant de rangs qu’il y a de zéros au dénominateur.

Exemple

Reprenons l’exemple de la fraction décimale et déterminons son écriture décimale.

• Le dénominateur de la fraction décimale est $1\ 000$. Le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché sera celui des millièmes.
• Le numérateur de la fraction décimale est $84\ 327$. Le nombre à virgule recherché est donc le nombre $84\ 327$ auquel on rajoute une virgule de telle sorte que le chiffre $7$ soit le 3^e chiffre après la virgule.
• On obtient bien le même résultat que précédemment : l’écriture décimale de $\frac{84\ 327}{1\ 000}$ est $84,327$.