Cours : Les outils d'étude

Les lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff s’appliquent aux circuits électriques, elles permettent de mettre en évidence la conservation de l’énergie et de la charge dans les montages électriques.
Avant de les étudier, faisons un petit rappel de vocabulaire avec, dans un circuit en dérivation, les nœuds, les branches et les mailles.

Définition

Un nœud :

Un nœud est l’intersection entre au moins $3$ fils électriques.

Définition

Une branche :

Une branche regroupe tous les composants électriques entre deux nœuds.

Définition

Une maille :

Une maille regroupe l’ensemble des branches parcourues en partant d’un nœud pour y revenir.

La loi des nœuds

Théorème

Loi des nœuds :

La somme des intensités entrantes dans un nœud est égale à la somme des intensités qui sortent de ce nœud.

$$\Sigma \,I_\text{entrantes}=\Sigma \,I_\text{sortantes}$$

Exemple

Sur la portion de schéma ci-dessous, le nœud est repéré par la lettre $A$ :

• l’intensité entrante est $I$,
• les intensités sortantes sont $I_1$, $I_2$, $I_3$.

• La loi des nœuds donne :

$$I=I_1+I_2+I_3$$

La loi des mailles

Sur le schéma ci-dessous, pour faire le tour de la maille, on passe d’abord par le générateur $G$, puis par l’interrupteur $S$, ensuite par la résistance $R_1$ et enfin par la résistance $R_2$.

• Lorsque l’on est de retour au générateur, on a alors réalisé une maille complète.

Théorème

Loi des mailles :

La somme algébrique des tensions dans une maille d’un circuit électrique est égale à zéro :

$$\Sigma \,\text{tension(s)}=0$$

Attention

Dans cette loi, on mentionne la somme des tensions, mais il faut faire attention aux sens :

• si la flèche de la tension considérée est dans le même sens que le sens du courant, alors on ajoutera sa valeur ;
• si la flèche de la tension considérée est dans le sens inverse de celui du courant, alors on soustraira sa valeur.

Le pont diviseur de tension

Le pont diviseur de tension permet de calculer une tension proportionnelle par rapport à une autre tension.

• On peut ainsi obtenir une tension servant de référence dans un montage électrique.

À retenir

Pour déterminer le potentiel $U_{R_2}$ aux bornes de la résistance $R_2$, il faut appliquer la formule suivante :

$$U_{R_2}=U_G\cdot \dfrac {R_2}{R_1+R_2}$$

Le pont diviseur de courant

Le pont diviseur de courant permet de calculer le courant d’un montage composé de résistances en dérivation si l’on connaît l’intensité totale qui entre dans le nœud et les valeurs des résistances.

D’après le schéma ci-dessus, on peut établir d’après la loi des nœuds, la relation suivante :

$$I_G=I_{R_1}+I_{R_2}$$

Si nous connaissons $I_G$ et les valeurs de $R_1$ et $R_2$, nous pouvons utiliser la formule du pont diviseur de courant pour calculer $I_{R_1}$ ou $I_{R_2}$.

À retenir

Grâce au pont diviseur de courant, on peut déduire :

• $I_{R_1}=I_G\cdot \dfrac{R_2}{R_1+R_2}$
• $I_{R_2}=I_G\cdot \dfrac{R_1}{R_1+R_2}$

Associations des résistances

Les résistances en série

À retenir

Si, dans un montage, plusieurs résistances sont montées en série, il est possible de simplifier cette représentation en ne représentant qu’une seule résistance équivalente à toutes les résistances en série.

$$ R_\text{éq} = R_1 + R_2 + R_3$$

Les résistances en dérivation ou parallèle

À retenir

Si dans un montage, plusieurs résistances sont montées en dérivation, il est possible de simplifier cette représentation en ne représentant qu’une seule résistance équivalente à toutes les résistances en dérivation.

$$\dfrac{1}{ R_\text{éq}} =\dfrac{1}{R_1} +\dfrac{1}{R_2} +\dfrac{1}{R_3} $$

Nous pouvons encore simplifier le calcul d’une résistance équivalente à seulement deux résistances en dérivation.

À retenir

Seulement deux résistances sont en dérivation :

Pour déterminer la valeur équivalente $R_\text{éq}$, il suffit de faire le produit des résistances ($R_1\cdot R_2$), divisé par la somme des deux résistances ($R_1+R_2$) :

$$R_\text{éq}=\dfrac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$$

Pour en avoir la preuve, il suffit de prendre la première formule, avec les inverses, et de réduire au même dénominateur.

Les résistances en groupement mixte

Il arrive que le montage ne soit pas simplement une association en série ou en dérivation, mais un mélange des deux. Nous appellerons cela un montage mixte.

• Pour simplifier un tel montage, il faut le décomposer en plusieurs étapes simples.

Exemple

Sur le montage ci-dessous, nous observons $4$ résistances.

Pour résoudre cette simplification, les étapes sont les suivantes.

• On associe $R_2$ et $R_3$, qui sont en série ; on obtient $R_{\text{éq},1}$.

• $R_{\text{éq},1}=R_2+R_3$
• On associe $R_{\text{éq},1}$ et $R_4$, qui sont en dérivation ; on obtient $R_{\text{éq},2}$.

• $\dfrac 1{R_{\text{éq},2}}=\dfrac 1{ R_{\text{éq},1}}+\dfrac 1{R_4}$

On remarque aussi que, avec $R_{\text{éq},1}$ et $R_4$, nous avons seulement deux résistances en dérivation.

• $R_{\text{éq},2}= \dfrac{R_{\text{éq},1}\cdot R_4}{R_{\text{éq},1}+R_4}$
• On termine par l’association $ R_{\text{éq},2}$ et $R_1$, qui sont en série ; on obtient $R_{\text{éq},3}$.

• $ R_{\text{éq},3}=R_1+ R_{\text{éq},2}$
• La simplification est terminée : nous obtenons une seule résistance équivalente, notée $ R_{\text{éq},3}$, dont nous connaissons l’expression.
• La représentation est ainsi beaucoup plus simple.

Modèles de Thévenin et de Norton

Modèle de Thévenin

Nous savons qu’un électromoteur fonctionnant en générateur (batterie alimentant un récepteur) peut être représenté de la façon suivante :

Il en va de même pour un électromoteur fonctionnant en récepteur : c’est le cas d’une batterie qui est en train de se recharger.

Définition

Modèle de Thévenin :

Le modèle équivalent de Thévenin définit un électromoteur par deux dipôles simples représentés en série :

• un résistor correspondant à la résistance interne de l’électromoteur ;
• une source de tension égale à la force électromotrice notée $E$, équivalente à la différence de potentiel entre les bornes ($\red +$ et $-$) de la batterie, lorsque celle-ci est déconnectée (tension à vide).

Il est important de bien visualiser la différence entre les deux exemples. Le sens de la flèche du courant entre les deux modèles générateur et récepteur est inversé :

• le générateur fournit le courant : il sort ;
• le récepteur reçoit le courant : il entre.

À retenir

• Loi des mailles sur le montage générateur : $U=E-R\cdot I$ ;
• Loi des mailles sur le montage récepteur : $U = E + R\cdot I$.

Le théorème de Thévenin est valable pour n’importe quel montage ou portion de circuit. Il permet de simplifier un schéma complexe, ou dont la composition est parfois inconnue, par un modèle simplifié comprenant un générateur de tension $E$ en série avec une résistance $R$.

Bilan de puissance d’un générateur

• D’après le modèle de Thévenin d’un générateur, on note la présence d’une tension $U$ positive, égale à sa force électromotrice notée $E$, à laquelle il faut soustraire une chute de tension équivalente au produit $R\cdot I$ (loi des mailles) :

$$ \red{U = E - R\cdot I}$$

• La puissance disponible (utile) $P_\text u$ au récepteur pour fonctionner est égale à :

$$\begin{aligned} \red{P_\text u} &\red{= U\cdot I} \\ &= (E - R\cdot I)\cdot I \\ &= E\cdot I - R\cdot I^2 \\ &\red{= E\cdot I - R\cdot I^2} \end{aligned}$$

• La puissance chimique $P_\text{ch}$ du générateur est égale à :

$$\red{P_\text{ch}=E\cdot I}$$

• Les pertes par effet Joule $P_\text{J}$ de ce générateur proviennent de la résistance :

$$\red{P_\text{J} = R\cdot I^2}$$

• Le bilan des puissances de ce générateur donne :

$$\red{P_\text{ch} = P_\text u + P_\text{J}}$$

• On peut exprimer le rendement, noté $\eta$, du générateur en divisant la puissance utilisée par le récepteur ($P_\text u$) par la puissance chimique ($P_\text{ch}$) développée par la batterie :

$$\red{\eta = \dfrac{ P_\text u}{P_\text{ch}}}$$

Le modèle de Norton

Définition

Modèle de Norton :

Le modèle équivalent de Norton permet de définir un électromoteur par deux dipôles simples représentés en dérivation :

• un générateur de courant parfait ;
• un résistor correspondant à la résistance interne de l’électromoteur.

Le générateur de courant parfait est symbolisé ainsi :

• Il est donc possible de transformer le modèle équivalent de Thévenin en modèle équivalent de Norton.

À retenir

Pour déterminer les éléments du modèle de Norton :

$$\begin{aligned} I_\text{N}&=\dfrac ER \\ R&=R_\text{N} \\ \\ I&=I_\text{N}-\dfrac UR \\ &=I_\text{N}-\dfrac U{R_\text{N}} \end{aligned}$$

Le théorème de superposition

Le théorème de superposition s’applique pour un montage comportant des composants linéaires tels que : générateur, résistance, condensateur, inductance.

• Dans ce montage, on souhaite déterminer la tension notée $U$.

Il est nécessaire d’utiliser le théorème de superposition lorsqu’un montage comporte plus d’un électromoteur.
Pour simplifier un montage comportant plusieurs électromoteurs, il faut procéder par étapes et observer le montage en ne tenant compte que d’une seule force électromotrice (f.é.m. $E$), on remplacera les autres f.é.m. par un conducteur.

À retenir

Pour connaître la tension $U$ du circuit, il suffit de faire la somme algébrique : $U=U^{\prime} +U^{\prime\prime}$, en utilisant le pont diviseur de tension.

Étape 1 : déterminer $U^{\prime}$

On supprime la force électromotrice $E_1$ du premier électromoteur et on la remplace par un conducteur.

• On a $3$ résistances et la f.é.m. $E_2$.

$R_1$ et $R$ sont en dérivation, il faut calculer la résistance équivalente $R_{\text{éq},1}$.

$$ R_{\text{éq},1}=\dfrac{R_1\cdot R}{R_1+R}$$

• On obtient le montage suivant :

Avec cette représentation, il est possible d’utiliser le pont diviseur de tension pour calculer la tension $U^{\prime}$ :

$$U^{\prime} =E_2\cdot \dfrac{R_{\text{éq},1}}{R_{\text{éq},1}+R_2}$$

Étape 2 : déterminer $U^{\prime\prime}$

On supprime la force électromotrice $E_2$ du second électromoteur et on la remplace par un conducteur.

• On se retrouve avec $3$ résistances et la f.é.m. $E_1$.

$R_2$ et $R$ sont en dérivation, il faut calculer la résistance équivalente $R_{\text{éq},2}$ :

$$R_{\text{éq},2}=\dfrac{ R_2\cdot R}{ R_2+R}$$

• On obtient le montage suivant :

Avec cette représentation, il est possible d’utiliser le pont diviseur de tension pour calculer la tension $U^{\prime\prime}$ :

$$U^{\prime\prime} =E_1\cdot \dfrac{R_{\text{éq},2}}{R_{\text{éq},2}+R_1}$$

Étape 3 : déterminer $U$

Pour calculer la tension $U$ aux bornes de la résistance $R$, il suffit de faire la somme algébrique suivante :

$$\begin{aligned} U&=U^{\prime} +U^{\prime\prime} \\ &=E_2\cdot \dfrac{ R_{\text{éq},1}}{R_{\text{éq},1}+R_2}+E_1\cdot \dfrac{ R_{\text{éq},2}}{R_{\text{éq},2}+R_1} \end{aligned}$$

Application

Cette dernière partie va s’appuyer sur un exercice chiffré, proche de l’exemple du paragraphe précédent, dont la résolution fera appel aux notions définies dans ce cours.

• Nous cherchons donc à déterminer la tension $U$ :

• On supprime la force électromotrice $E_1$ du premier électromoteur, et on la remplace par un conducteur.
• On se retrouve avec $3$ résistances.

$R_1$ et $R$ sont en dérivation, on calcule la résistance équivalente $R_{\text{éq},1}$ :

$$\begin{aligned} R_{\text{éq},1}&=\dfrac{ R_1\cdot R}{R_1+R} \\ &= \dfrac{10\times10}{10+10} \\ &=\dfrac{100}{20} \\ &=5\ \Omega \end{aligned}$$

Astuce

Lorsque deux résistances identiques sont en dérivation, la valeur équivalente de cette dérivation correspond à la moitié de la valeur d’une de ces résistances.

Dans la situation précédente, $R_1$ et $R$ valent $10\ \Omega$ et elles sont en dérivation.

• La résistance équivalente est égale à la moitié d’une des deux résistances :

$$R_{\text{éq},1}=\dfrac{R_1}2=\dfrac R2=5\ \Omega$$

• Appliquons le pont diviseur de tension pour calculer $U^{\prime}$ :

$$\begin{aligned} U^{\prime} &=E_2\cdot \dfrac{R_{\text{éq},1}}{ R_{\text{éq},1}+R_2} \\ &=20\times\dfrac{5}{5+15} \\ &=20\times\dfrac{5}{20} \\ &=5\ \text{V} \end{aligned}$$

• On supprime la force électromotrice $E_2$ du second électromoteur, et on la remplace par un conducteur.
• On se retrouve avec $3$ résistances.

$R_2$ et $R_3$ sont en dérivation, on calcule la résistance équivalente $ R_{\text{éq},2}$ :

$$\begin{aligned} R_{\text{éq},2}&=\dfrac{ R_2\cdot R_3}{R_2+R_3} \\ &= \dfrac{10\times15}{10+15} \\ &=\dfrac{150}{25} \\ &=6\ \Omega \end{aligned}$$

• Appliquons le pont diviseur de tension pour calculer $U^{\prime\prime}$ :

$$\begin{aligned} U^{\prime\prime} &=E_1\cdot \dfrac{R_{\text{éq},2}}{ R_{\text{éq},2}+R_1} \\ &=12\times\dfrac{6}{6+10} \\ &=12\times\dfrac{6}{16} \\ &=4,5\ \text{V} \end{aligned}$$

• Appliquons le théorème de superposition pour calculer la tension $U$ :

$$\begin{aligned} U&=U^{\prime} +U^{\prime\prime} \\ &=5+4,5 \\ &=9,5\ \text{V} \end{aligned}$$

• La tension aux bornes de la résistance $R$ est donc de $9,5\ \text{V}$.