Les pourcentages
Introduction :
Dans ce cours, nous allons revenir sur les pourcentages. Nous reverrons tout d’abord comment appliquer un taux de pourcentage. Puis nous donnerons plusieurs méthodes pour déterminer un taux de pourcentage.
Appliquer un pourcentage
Appliquer un pourcentage
Propriété
Soit $p$ un nombre positif et $Q$ une quantité.
Calculer $p\,\%$ de $Q$, c’est multiplier $Q$ par $\dfrac p{100}$ :
$$\green p\,\red{\%} \text{ de } \blue Q= \red{\dfrac {\green p}{100}}\times \blue Q$$
Exemple
Dans un collège, $150$ élèves de troisième se sont présentés au brevet. Le pourcentage de réussite a été de $86\,\%$.
- Combien de candidats ont été reçus ?
Il faut donc calculer $\green{86}\,\red{\%}$ de $\blue{150}$ élèves. Notons $n$ le nombre d’élèves qui ont réussi. On a alors, en utilisant la propriété donnée :
$$n=\red{\dfrac{\green {86}}{100}}\times \blue{150} = 0,86\times 150 = 129$$
- Dans ce collège, $129$ élèves ont réussi le brevet.
Pour mieux comprendre cette formule et la situation de proportionnalité que traduit un pourcentage, nous pouvons construire le tableau de proportionnalité correspondant.
Le pourcentage de réussite de $86\,\%$ indique que $86$ élèves sur $100$ ont réussi.
Et on cherche $n$, le nombre d’élèves ayant réussi sur les $150$ élèves de troisième du collège.
On a ainsi le tableau de proportionnalité suivant :
Tableau de proportionnalité et pourcentage
On retrouve bien le même calcul qu’avec la propriété :
$$n=150 \times \dfrac{86}{100}$$
Un pourcentage peut aussi permettre de retrouver une quantité totale.
Exemple
Dans un autre collège, ce sont $161$ élèves de troisième qui ont réussi le brevet. Le taux de réussite a été de $92\,\%$.
- Combien de candidats se sont présentés au brevet dans ce collège ?
Cette fois, on connaît le nombre de candidats qui ont réussi, et on cherche le nombre total $N$ d’élèves de troisième qui se sont présentés. On peut se servir d’un tableau de proportionnalité :
Tableau de proportionnalité
Pour déterminer $N$, on peut ainsi diviser le nombre de candidats ayant réussi par le coefficient de proportionnalité :
$$N=161\div \dfrac{92}{100}$$
On sait que diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse ; on obtient ainsi :
$$N=161\times \dfrac {100}{92}=175$$
- Dans ce collège, $175$ élèves de troisième se sont présentés au brevet.
Astuce
Ainsi, si on connaît le pourcentage $p\,\%=\dfrac p{100}$et la quantité de la partie, on peut, pour retrouver la quantité totale, directement multiplier la quantité de la partie par l’inverse de $\dfrac p{100}$, soit $\dfrac {100}p$.
Déterminer un pourcentage
Déterminer un pourcentage
Dans cette partie, nous allons voir comment déterminer un pourcentage. Il existe pour cela deux principales façons de faire
En se ramenant à une écriture fractionnaire de dénominateur $100$
$22$ élèves d’une classe de $25$ élèves ont réussi le brevet.
- Quel est le pourcentage de réussite de cette classe ?
Dans cette classe, la proportion d’élèves ayant réussi le brevet est de $\dfrac {22}{25}$.
On cherche alors une fraction égale à $\dfrac{22}{25}$ de dénominateur $100$ (en remarquant rapidement que $100$ est un multiple de $25$) :
$$\dfrac{22}{25}=\dfrac{22\times 4}{25\times 4}=\dfrac{88}{100}=88\,\%$$
Astuce
On peut aussi donner l’écriture décimale du rapport, pour en trouver ensuite facilement une écriture fractionnaire de dénominateur $100$ :
$$\dfrac{22}{25}=0,88=\dfrac {88}{100}=88\,\%$$
- $88\,\%$ des élèves de cette classe ont réussi le brevet.
En utilisant un tableau de proportionnalité
Au niveau national, $752\,700$ élèves se sont présentés à la session 2022 du brevet, et $667\,500$ élèves l’ont réussi.
- Quel est le pourcentage de réussite au niveau national ?
On a le tableau de proportionnalité suivant, où on cherche la valeur de $p$ :
Tableau de proportionnalité
Déterminer $p$ revient donc à calculer une quatrième proportionnelle. Il existe différentes méthodes, que nous avons vues dans le cours sur la proportionnalité.
On choisit ici d’utiliser la règle de trois, en effectuant le produit des nombres connus « en diagonale » et en divisant par le troisième nombre connu :
$$p=\dfrac{667\,500\times 100}{752\,700}=\dfrac{667\,500}{7\,527}\approx 88,7$$
- Le pourcentage de réussite au niveau national est d’environ $88,7\,\%$.