Cours : Pourcentages : calculs et quantité totale (suite)

• Un chemisier d'une valeur de $25$ € est soldé à $20\ \%$. Quel est son nouveau prix ?

Il s'agit ici de calculer le montant final d'un article qui subit une diminution.

Diminuer $25$ € de $20\ \%$, c'est multiplier $25$ par $(1 - \frac{20}{100})$ soit par $1 - 0,2 = 0,8$.

D'où : $25 \times (1 - \frac{20}{100}) = 25 \times 0,8 = 20$

• Le nouveau prix du chemisier est $20$ €.
• Le nombre d'élèves d'un collège a augmenté de $5\ \%$ par rapport à l'année précédente. Aujourd'hui, il en compte $651$. Combien en comptait-il l'année dernière ?

Il s'agit ici de calculer le nombre initial d'élèves qui a subi une augmentation.

Soit $N$ le nombre initial d'élèves. Alors, $N$ augmenté de $5\ \%$ est égal à $651$ soit l'équation à résoudre : $N \times (1 + \frac{5}{100}) = 651$.

Or $1 + \frac{5}{100} = 1 + 0,05 = 1,05$.

Donc l'équation devient : $N \times 1,05 = 651$ d'où $N = 651 \div 1,05 = 620$

• L'année dernière, le collège comptait $620$ élèves.
• D'ici deux ans, le prix d'un paquet de cigarettes doit être porté à $10$ €. Quel sera le pourcentage d'augmentation du prix d'un paquet qui coûte aujourd'hui $7$ € ?

Il s'agit ici de calculer non pas le montant final ou initial d'un article mais le pourcentage d'augmentation de son prix.

Soit $x$ ce pourcentage. Alors, $7$ augmenté de $x\ \%$ est égal à $10$ soit l'équation à résoudre : $7 \times (1 + \frac{x}{100}) = 10$.

En multipliant les deux membres par $\frac 17$, on obtient : $$\frac 17 \times 7 \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) = \frac 17 \times 10$$

D'où : $$1 + \frac{x}{100} = \frac{10}{7}$$

En ajoutant $- 1$ aux deux membres, on obtient : $$- 1 + 1 + \frac{x}{100} = - 1 + \frac{10}{7}$$

D'où : $$\frac{x}{100} = - \frac 77 + \frac{10}{7}$$

Donc : $$\frac{x}{100} = \frac{3}{7} \approx 0,43 = \frac{43}{100}$$

• Le prix d'un paquet de cigarettes à $7$ € augmentera d'environ $43\ \%$.

Reprenons l'exemple du nombre d'élèves d'un collège.

Pour déterminer le nombre initial d'élèves qui a augmenté de $5\ \%$, on pourrait être tentés d'appliquer une diminution de $5\ \%$ au nombre final d'élèves, mais ce calcul serait faux.
En effet : $651 \times (1 - \frac{5}{100}) = 651 \times 0,95 = 618,45 \neq 620$.

Ce qui se comprend d'ailleurs facilement puisque :

• augmenter $620$ de $5\ \%$, c'est lui ajouter $620 \times \frac{5}{100} = 620 \times 0,05 = \bold {31}$, alors que
• diminuer $651$ de $5\ \%$, c'est lui enlever $651 \times \frac{5}{100} = 651 \times 0,05 = \bold{32,55} \neq 31$.

• Reprenons l'exemple du nombre d'élèves d'un collège.

En utilisant la propriété de calcul liée à l'augmentation d'un nombre, nous avons trouvé le nombre d'élèves pour l'année précédente égal à $620$. Vérifions qu'en y rajoutant $5\ \%$, on retombe bien sur le nombre de $651$ élèves cette année.

Nous avons calculé la valeur de $5\ \%$ de $620$ dans l'exemple ci-dessus. Nous avons trouvé $31$.

$620 + 31$ font bien $651$.

• Notre résultat de $620$ élèves pour l'année précédente est correct.
• Reprenons maintenant l'exemple du chemisier à $25$ € soldé à $20\ \%$.

En magasin, il est quand même bien pratique de savoir réaliser ce genre de calcul mentalement. Rapidement, on peut calculer $10\ \%$ du prix soit $2,5$ € (le prix divisé par $10$), du coup $20\ \%$ font $5$ € (deux fois la valeur de $10\ \%$) qui, soustraits à $25$ €, font $20$ €.

• Le résultat de $20$ € trouvé précédemment est donc correct.

Dans un collège, $58\ \%$ des élèves sont des filles. $25\ \%$ d'entre elles sont en 4^e. Combien y a-t-il de filles en 4^e dans ce collège sachant qu'il y a en tout $600$ élèves ?

Il y a $58\ \%$ de filles sur $600$ élèves soit $600 \times \frac{58}{100}=600 \times 0,58=348$ filles.

$25\ \%$ des filles sont en 4^e soit $348 \times \frac{25}{100}=348 \times 0,25=87$ filles en 4^e.

Pour aller plus vite, on peut calculer directement :

$600 \times \red {\frac{58}{100}} \times \blue{\frac{25}{100}}= 600 \times \red{0,58} \times \blue{0,25}=600 \times 0,145=87$

Une classe de neige regroupe deux classes.

• La 4^e 3 compte $28$ élèves dont $25\ \%$ n'ont jamais skié.
• La 4^e 6 compte $22$ élèves dont $50\ \%$ n'ont jamais skié.

Quel est le pourcentage d'élèves qui n'ont jamais skié sur l'ensemble de la classe de neige ?

• Considérons le premier groupe : la 4^e 3.

$25\ \%$ des $28$ élèves n'ont jamais skié soit $28 \times \frac{25}{100} = 28 \times 0,25 = 7$ élèves.

• Considérons le deuxième groupe : la 4^e 6.

$50\ \%$ des $22$ élèves n'ont jamais skié soit $22 \times \frac{50}{100} = 22 \times 0,5 = 11$ élèves.

• Considérons maintenant l'ensemble des deux groupes, c'est-à-dire la totalité de la classe de neige.

$7 + 11$ soit $18$ élèves n'ont jamais skié sur $28 + 22$ soit $50$ élèves en tout, soit un taux de $\frac{18}{50}$.

Or $\frac{18}{50} = \frac{18 \times 2}{50 \times 2} = \frac{36}{100} = 36\ \%$

• Sur l'ensemble de la classe de neige, $36\ \%$ des élèves n'ont jamais skié.