Pourcentages : définition et application
Introduction :
Nous savons déjà qu’un nombre peut s’écrire sous une forme décimale ou sous une forme fractionnaire. Nous allons découvrir qu’il peut également s’écrire sous la forme d’un pourcentage et nous allons établir le lien entre toutes ces formes. Un pourcentage est un outil qui traduit une situation de proportionnalité.
Dans un premier temps, nous allons étudier le pourcentage et la proportionnalité. Puis nous appliquerons un taux de pourcentage et verrons également comment calculer un pourcentage. En troisième partie, nous nous intéresserons à la notion d’augmentation et de diminution. Enfin, nous étudierons le pourcentage relatif à la réunion de deux groupes.
Le pourcentage et la proportionnalité
Le pourcentage et la proportionnalité
Vocabulaire
Vocabulaire
Définition
Situation de proportionnalité :
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. On dit alors qu’il y a situation de proportionnalité.
Définition
Pourcentage :
Un pourcentage représente la proportion d’une quantité comparée à $100$.
Il s’exprime sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est $100$ et se note avec le symbole « $\%$ », qui se lit « pour cent ».
Exemple
Par exemple, $54\ \%$ se lit « $54$ pour cent », et on a :
$$54\ \%=\dfrac {54}{100}$$
Exemple
Exemple
Exemple
Pour une bonne conservation, une confiture doit contenir $60\ \%$ de sucre.
- Cela signifie que la masse de sucre est proportionnelle à la masse de confiture et que, pour $100$ grammes de confiture, il y a $60$ grammes de sucre.
Quelle masse de sucre y a-t-il dans $110\text{ g}$, $200\text{ g}$, $50\text{ g}$ et $250\text{ g}$ de confiture ?
Nous pouvons consigner ces données dans un tableau de proportionnalité.
| Masse de confiture (en grammes) | $100$ | $110$ | $200$ | $50$ | $250$ |
| Masse de sucre (en grammes) | $60$ |
On cherche tout d’abord à calculer $60\ \%$ de $110$.
On est ici dans une situation de proportionnalité.
On peut donc chercher le coefficient de proportionnalité en effectuant la division de $60$ par $100$ :
$$60 \div 100 = 0,6$$
- Le coefficient de proportionnalité est de $0,6$.
Pour compléter ce tableau, on peut donc multiplier les nombres de la première ligne par $0,6$ pour obtenir les valeurs de la deuxième ligne.
| Masse de confiture (en grammes) | $100$ | $110$ | $200$ | $50$ | $250$ |
| Masse de sucre (en grammes) | $60$ | $66$ | $120$ | $30$ | $150$ |
Pourcentages particuliers
Pourcentages particuliers
| Pourcentage | Fraction en centième | Fraction simplifiée | Nombre décimal | Nom d’usage |
| $10\ \%$ | $\frac{10}{100}$ | $\frac{1}{10}$ | $0,1$ | le dixième |
| $25\ \%$ | $\frac{25}{100}$ | $\frac{1}{4}$ | $0,25$ | le quart |
| $50\ \%$ | $\frac{50}{100}$ | $\frac{1}{2}$ | $0,50$ | le demi |
| $75\ \%$ | $\frac{75}{100}$ | $\frac{3}{4}$ | $0,75$ | les trois quarts |
Appliquer et déterminer un taux de pourcentage
Appliquer et déterminer un taux de pourcentage
Appliquer un taux de pourcentage
Appliquer un taux de pourcentage
Propriété
Pour calculer $\text{x}\ \%$ d’une quantité, il faut multiplier cette quantité par $\dfrac{\text{x}}{100}$.
Exemple
Dans un sac de $80$ jetons, $35\ \%$ des jetons sont rouges.
Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?
On doit ici calculer $35\ \%$ de $80$.
$$\begin{aligned}80\times35\ \% &=80\times\frac{35}{100} \\&=80\times 0,35\\ &=28\end{aligned}$$
- Le sac contient donc $28$ jetons rouges.
En France, la masse moyenne des déchets ménagers est de $375\text{ kg}$ par habitant et par an. $14\ \%$ de ces déchets sont des papiers.
Quelle est la masse de papiers jetés en une année dans les déchets ménagers par habitant ?
On cherche ici à calculer $14\ \%$ de $375$.
$$\begin{aligned}375\times14\ \%&=375 \times \frac{14}{100}\\ &=375 \times 0,14\\&=52,5\end{aligned}$$
- Un habitant jette en moyenne $52,5\text{ kg}$ de papiers par an.
Au 1er janvier 2013, la population de la France était estimée à $65\ 586\ 000$ habitants (source : INSEE).
Les jeunes de moins de 20 ans représentaient alors $24,6\ \%$ de cette population.
Combien y avait-il de Français de moins de 20 ans ?
On cherche ici à calculer $24,6\ \%$ de $65\ 586\ 000$.
$$\begin{aligned}65\ 586\ 000\times24,6\ \%&=65\ 586\ 000 \times \frac{24,6}{100}\\ &= 65\ 586\ 000 \times 0,246\\&=16\ 134\ 156\end{aligned}$$
- Au 1er janvier 2013, il y avait $16\ 134\ 156$ jeunes de moins de 20 ans en France.
Déterminer un pourcentage
Déterminer un pourcentage
Propriété
Déterminer un pourcentage revient à calculer un coefficient de proportionnalité sous la forme $\frac{x}{100}$.
Exemple
Dans un club de sport de $250$ licenciés, il y a $110$ filles.
Quel est le pourcentage de filles dans ce club ?
Il y a $\frac{110}{250}$ filles dans ce club. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est $100$.
$$\dfrac{110}{250}=\dfrac{110\times 4}{250\times 4}=\dfrac{440}{1\,000}=\dfrac{440\div 10}{1\,000\div 10}=\dfrac{44}{100}$$
- Il y a $44\ \%$ de filles dans ce club de sport.
Dans une classe de $28$ élèves, $7$ élèves sont gauchers.
Quel est le pourcentage de gauchers dans cette classe ?
Il y a $\frac{7}{28}$ élèves gauchers dans cette classe. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est $100$.
$$\dfrac{7}{28}=\dfrac{7\div 7}{28\div 7}=\dfrac{1}{4}=0,25=\dfrac{25}{100}$$
- $25\ \%$ des élèves sont gauchers dans cette classe.
La classe de 5e B a voté pour l’élection des délégués de classe. La classe comporte $24$ élèves et Claire a obtenu $15$ voix.
Quel est le pourcentage de voix obtenu par Claire ?
Claire a obtenu $\frac{15}{24}$ voix. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est $100$.
$$\dfrac{15}{24}=0,625=\dfrac{62,5}{100}$$
- $62,5\ \%$ des élèves de 5e B ont voté pour Claire.
Conclusion :
Savoir appliquer un taux de pourcentage ou trouver un taux de pourcentage est utile dans des domaines très divers tels que les statistiques, la géographie, la physique, la chimie, le développement durable, la santé ou le commerce.