Les signaux périodiques
Introduction :
Ce cours porte sur le thème des signaux périodiques et plus précisément sur les caractéristiques de ces phénomènes ainsi que leurs applications pratiques.
Dans un premier temps, nous allons voir ces signaux d’un point de vue mathématique, en détaillant l’ensemble des facteurs qui définissent la périodicité.
Puis nous aborderons l’aspect pratique, en étudiant les appareils de mesure et les applications réelles dans le domaine médical.
Les caractéristiques d’un phénomène périodique
Les caractéristiques d’un phénomène périodique
La périodicité
La périodicité
Définition
Fonction périodique :
Une fonction est périodique si elle admet une période $T$ non nulle.
On appelle période d’une fonction $f$ la valeur $T$ pour laquelle l’égalité $f(t+T) = f(t)$ est toujours vraie.
Le motif que l’on retrouve identique à chaque période est appelé motif élémentaire.
Exemple de fonction périodique
À retenir
Une fonction est périodique dans le temps si on peut trouver une période au bout de laquelle le même phénomène se répète à l’identique.
Exemple
La rotation de la Terre autour du Soleil est périodique, avec $T = 1\ \text{an}$.
Tous les ans, la planète Terre se retrouve au même endroit par rapport au Soleil.
La période des aiguilles d’une montre est $T = 1\ \text{heure}$, car, si l'on regarde une montre exactement une fois par heure, les aiguilles seront toujours disposées de la même façon. De plus, le mouvement de celles-ci entre chaque observation se reproduira à l’identique.
En physique-chimie on considère qu’une période est un temps, on l’exprime donc en secondes.
Attention
Les ondes peuvent aussi être périodiques. Dans ce cas, nous aborderons le concept de longueur d’onde, qui ressemble beaucoup à la période mais qui est une distance.
Exemple
Il ne faut pas confondre période et longueur d’onde.
Si un homme marche dans la rue et que sur le trottoir se trouve un poteau tous les mètres :
- le nombre de secondes qu’il lui faut pour aller d’un poteau au suivant est la période ;
- la longueur d’onde, habituellement notée $\lambda$, est 1 m.
S’il ralentit soudainement la longueur d’onde reste identique, mais la période augmente puisqu’il met plus de temps pour aller d’un poteau au suivant.
Une fonction périodique a d’autres caractéristiques qui la définissent, comme la fréquence.
La fréquence
La fréquence
La fréquence $f$ d’une fonction périodique dans le temps est le nombre de fois où le motif se reproduira en 1 seconde. On a donc : $$f =\dfrac{1}{T}$$
Si la période est de 0,5 s alors la fréquence est de $\dfrac{1}{0,5}$ soit 2.
L’unité de la fréquence est le hertz (Hz) et son unité selon le système international est la seconde moins un (s–1).
À retenir
La fréquence et la période sont inversement proportionnelles : lorsque l’une augmente, l’autre diminue.
La dernière caractéristique d’une fonction périodique est son amplitude.
L’amplitude
L’amplitude
Il existe deux types d’amplitude qu’il ne faut pas confondre : l’amplitude simple et l’amplitude crête à crête.
Définition
Amplitude simple :
L’amplitude simple est définie par la valeur maximale de la fonction par rapport à la valeur de référence (le plus souvent 0).
Définition
Amplitude crête à crête :
L’amplitude crête à crête est la différence entre l’amplitude maximale et l’amplitude minimale.
Astuce
La plupart du temps, l’amplitude simple est la moitié de l’amplitude crête à crête.
Mesure d’un phénomène périodique
Mesure d’un phénomène périodique
L’oscilloscope
L’oscilloscope
À retenir
L’appareil de mesure qui permet d’étudier un signal périodique électrique est un oscilloscope.
Le rendu d’un oscilloscope est un oscillogramme.
La lecture de cette image se fait grâce aux divisions, c’est-à-dire au quadrillage. On peut régler la sensibilité verticale et horizontale de l’appareil :
- le réglage horizontal, ou durée de balayage, permet de calculer la période en secondes par division s/div ;
- le réglage vertical permet de déterminer la tension par division (en volts). Il faut donc connaitre les volts par division V/div pour effectuer correctement les calculs.
Pour effectuer les calculs il suffit de compter les divisions puis de les multiplier par la valeur de la sensibilité.
Ce type d’imagerie peut être utile dans de nombreux cas, et notamment dans le domaine médical.
Les applications médicales
Les applications médicales
L’électrocardiogramme, abrégé ECG, est l’imagerie de référence pour étudier l’activité électrique du cœur.
Attention
Il n’est pas nécessaire d’obtenir un cliché pour parler d’imagerie médicale : toute technique permettant d’obtenir une information visuelle à propos du corps en fait partie.
Électrocardiogramme type
On sait décomposer le signal périodique du muscle cardiaque en plusieurs segments caractéristiques. La période du signal permet de calculer le rythme cardiaque, donc la fréquence cardiaque.
On distingue trois fréquences différentes à étudier :
- la fréquence au repos,
- la fréquence maximale,
- et la fréquence à l’effort.
À retenir
En décomposant chaque segment du signal cardiaque et en l’étudiant à différentes intensités d’efforts, on peut repérer certaines malformations ou pathologies.
Exemple
Pour un adulte, la fréquence cardiaque au repos doit environner les 60 battements par minute. Si c’est plus, les médecins suspectent alors une pathologie.
Le deuxième examen courant faisant intervenir un signal périodique est l’électroencéphalogramme, abrégé EEG.
L’activité du cerveau étant variable dans le temps, les ondes étudiées ne sont pas parfaitement périodiques. On remarque tout de même des pseudo-motifs élémentaires qui ont tendance à se répéter.
Électroencéphalogramme type
À retenir
L’EEG permet d’évaluer l’état de veille du patient, son niveau de stress ou d’activité. Un EEG plat, c’est-à-dire une courbe d’EEG qui serait une droite, est le signe d’une inactivité cérébrale. Quand cela arrive, on dit que la personne est en état de mort cérébrale.