Cours : Vecteurs du plan et opérations

Les vecteurs

Translation et vecteur

Au collège, nous avons appris ce qu’est une translation.

Ici, par exemple, la translation qui transforme $M$ en $M^{\prime}$ est caractérisée par une direction : la droite $(MM^{\prime})$, un sens : de $M$ vers $M^{\prime}$, et une longueur : $MM^{\prime}$.

Définition

Vecteur :

À une telle translation, on associe un vecteur, qu’on note $\overrightarrow{MM^{\prime}\ }$, représenté graphiquement par la même flèche d’origine $M$ et d’extrémité $M^{\prime}$.

• Ainsi, ce vecteur est caractérisé par :
• sa direction : celle de la droite $(MM^{\prime})$ ;
• son sens : de $M$ vers $M^{\prime}$ ;
• sa longueur, ou norme : la distance entre $M$ et $M^{\prime}$, notée $MM^{\prime}$ ou $\Vert \overrightarrow{MM^{\prime}}\Vert$.

À retenir

Le vecteur associé à une translation qui transforme un point en lui-même est appelé vecteur nul et est noté $\vec 0$. Il n’a ni direction ni sens, et sa norme est nulle.

• Ainsi, pour tout point $M$ du plan :

$$\overrightarrow{MM\ }=\vec 0$$

• Autrement dit, les points $A$ et $B$ sont confondus si et seulement si :

$$\overrightarrow{AB\ }=\vec 0$$

Égalité de deux vecteurs

Considérons la translation qui transforme $A$ en $A^{\prime}$, $B$ en $B^{\prime}$ et $C$ en $C^{\prime}$ :

Les vecteurs $\overrightarrow{AA^{\prime}\ }$, $\overrightarrow{BB^{\prime}\ }$ et $\overrightarrow{CC^{\prime}\ }$ sont associés à la même translation.
Ils ont donc la même direction, le même sens et sont de même longueur.

• Les trois vecteurs sont alors égaux.

Définition

Vecteurs égaux :

Deux vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$ sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

• On note :

$$\overrightarrow{AB\ }=\overrightarrow{CD\ }$$

À retenir

Soit $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$ deux vecteurs non nuls égaux.

Nous pouvons alors poser le vecteur $\vec u$, tel que :

$$\vec u=\overrightarrow{AB\ }=\overrightarrow{CD\ }$$

• On dit que les vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$ sont des représentants du vecteur $\vec u$.

Vient alors la propriété du parallélogramme suivante.

Propriété

Deux vecteurs $\overrightarrow{\red A\green B\ }$ et $\overrightarrow{\purple C\blue D\ }$ sont égaux si et seulement si le quadrilatère $\red A\green B\blue D\purple C$ est un parallélogramme (qui peut être aplati).

Il vient aussi une propriété sur le milieu d’un segment.

Propriété

$I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AI\ }$ et $\overrightarrow{IB\ }$ sont égaux :

$$\overrightarrow{AI\ }=\overrightarrow{IB\ }$$

Vecteurs opposés

Attention, il ne faut pas confondre direction et sens.
En effet, la translation qui transforme le point $A$ en un point $B$ ($A$ et $B$ non confondus) n’est évidemment pas la même que celle qui transforme $B$ en $A$ : elles sont caractérisées par des déplacements qui ont la même direction et la même longueur, mais leurs sens sont contraires !

• On dit que les vecteurs associés à ces deux translations, $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{BA\ }$, sont des vecteurs opposés.

Définition

Opposé d’un vecteur :

Soit $\vec u$ un vecteur non nul du plan.
L’opposé de $\vec u$ est le vecteur qui a la même direction et la même norme que $\vec u$, mais qui est de sens contraire à celui de $\vec u$.

• On le note $-\vec u$.

L’opposé du vecteur nul est le vecteur nul.

À retenir

Pour tous points $A$ et $B$ du plan, nous avons :

$$\overrightarrow{AB\ }=-\overrightarrow{BA\ }$$

Exemples de modélisation par des vecteurs

• En physique, une force est représentée par un vecteur : on voit ci-dessous la représentation de la force exercée par un cheval sur une charrue.

• La vitesse est aussi représentée par des vecteurs en physique. Par exemple, la direction, le sens et la force (vitesse) du vent, en plusieurs points de l’espace, peuvent être illustrés par des vecteurs.
• Plus le vent est fort, c’est-à-dire rapide, plus la norme du vecteur est grande.

Somme de vecteurs

Somme et différence de vecteurs

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs et $M$ un point du plan.
La translation de vecteur $\vec u$ transforme $M$ en $N$. La translation de vecteur $\vec v$ transforme $N$ en $P$.

• Enchaîner ces deux translations transforme $M$ en $P$, cela revient à faire une translation, de vecteur $\vec w$.

Définition

Somme de deux vecteurs :

La somme de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur $\vec w$ associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur $\vec u$ et de vecteur $\vec v$.

• On note : $\vec w=\vec u+\vec v$.

Nous pouvons maintenant définir la différence de deux vecteurs.

Définition

Différence de deux vecteurs :

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan.
La différence du vecteur $\vec u$ et du vecteur $\vec v$ est notée $\vec u - \vec v$ et elle est égale à la somme du vecteur $\vec u$ et du vecteur opposé de $\vec v$, soit $-\vec v$ :

$$\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)$$

Propriété

Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$, on a :

• $\vec u +\vec v=\vec v +\vec u$ ;
• $(\vec u +\vec v)+\vec w = \vec u +(\vec v +\vec w)$ ;
• $\vec u +\vec 0=\vec u$ ;
• $\vec u - \vec u =\vec 0$.

Astuce

• La propriété 1 est appelée commutativité : on peut intervertir les termes sans changer le résultat.
• La propriété 2 est appelée associativité : on peut grouper les éléments de différentes manières sans changer le résultat.

À retenir

Pour construire une somme de vecteurs, il faut construire leurs représentants en les mettant « bout à bout ».

Remarquons que l’ordre dans lequel nous mettons « bout à bout » les vecteurs n’est pas important, nous arriverons au même résultat (conséquence de la propriété de commutativité).

Relation de Chasles et règle du parallélogramme

Nous allons maintenant donner explicitement une relation très importante, que nous avons illustrée dans le paragraphe précédent avec l’enchaînement de deux translations, et dont vous vous servirez très souvent dans les niveaux supérieurs : la relation de Chasles.

Propriété

Relation de Chasles :

Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ du plan, nous avons :

$$\overrightarrow{A\red B\ }+\overrightarrow{\red BC\ }=\overrightarrow{AC\ }$$

Astuce

Si nous avons la somme de deux vecteurs tels qu’un même point est l’extrémité de l’un et l’origine de l’autre, alors nous pouvons, en quelque sorte, faire « disparaître » ce point.

Ce n’est pas au programme directement, mais nous pouvons tout de même déjà voir comment se servir de cette relation de Chasles.

Exemple

Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.

• Nous cherchons à simplifier l’écriture du vecteur $\overrightarrow{AC\ }+\overrightarrow{DA\ }$ :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ }+\overrightarrow{DA\ }&=\overrightarrow{D\red A\ }+\overrightarrow{\red AC\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par commutativité]}}}\\ &=\overrightarrow{DC\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par la relation de Chasles]}}} \end{aligned}$$

• Nous cherchons à simplifier l’écriture du vecteur $\overrightarrow{AB\ }-\overrightarrow{DC\ }+\overrightarrow{BC\ }$ :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB\ }-\overrightarrow{DC\ }+\overrightarrow{BC\ }&=\overrightarrow{A\red B\ }+\overrightarrow{\red BC\ }-\overrightarrow{DC\ }\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par commutativité]}}} \\ &=\overrightarrow{AC\ }-\overrightarrow{DC\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par la relation de Chasles]}}} \\ &=\overrightarrow{AC\ }+(-\overrightarrow{DC\ }) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par définition de la différence]}}} \\ &=\overrightarrow{A\red C\ }+\overrightarrow{\red CD\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $-\overrightarrow{DC\ }=\overrightarrow{CD\ }$]}}} \\ &=\overrightarrow{AD\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [toujours par la relation de Chasles]}}} \end{aligned}$$

Comme conséquence de la relation de Chasles, nous avons la propriété suivante, caractéristique du parallélogramme, que nous admettons.

Propriété

Règle du parallélogramme :

Un quadrilatère $\red A\green B\blue C\purple D$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{\red A\blue C\ }=\overrightarrow{\red A\green B\ }+\overrightarrow{\red A\purple D\ }$.

Produit d’un vecteur par un réel et colinéarité

Produit d’un vecteur par un nombre réel

Définition

Produit d’un vecteur par un réel :

Soit $\vec u$ un vecteur non nul du plan et $k$ un réel non nul.
Le produit du vecteur $\vec u$ par le réel $k$ est le vecteur noté $k\vec u$ :

• de même direction que $\vec u$ ;
• de même sens que $\vec u$ si $k$ est strictement positif, de sens contraire à $\vec u$ si $k$ est strictement négatif ;
• de norme égale à $\vert k\vert \times \Vert \vec u \Vert$.

À retenir

Nous avons par ailleurs :

• pour tout réel $k$ : $k\vec 0=\vec 0$ ;
• pour tout vecteur $\vec u$ du plan, $0\vec u=\vec 0$.
• $k\vec u=\vec 0$ signifie que : $k=0$ ou $\vec u=\vec 0$.

Propriété

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan, et $k$ et $k^{\prime}$ deux réels.
Nous avons alors :

• $(k+k^{\prime})\vec u=k\vec u+k^{\prime}\vec u$ ;
• $k(k^{\prime}\vec u)=(kk^{\prime})\vec u$ ;
• $k(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v$.

Prenons deux exemples pour bien comprendre ce produit.

Exemple

Soit $\vec u$ un vecteur du plan.

• Le vecteur $3\vec u$ est le vecteur qui a :
• la même direction que $\vec u$ ;
• le même sens que $\vec u$, puisque $3 > 0$ ;
• pour norme $3$ fois celle de $\vec u$, car :

$$\Vert 3\vec u \Vert=\vert 3\vert \times \Vert \vec u\Vert=3\times \Vert \vec u\Vert $$

Remarquons qu’une translation de vecteur $3\vec u$ revient à appliquer $3$ fois successivement la translation de vecteur $\vec u$ :

$$3\vec u=\vec u+\vec u+\vec u$$

• Le vecteur $-\frac 12\vec u$ est le vecteur qui a :
• la même direction que $\vec u$ ;
• le sens contraire de $\vec u$, puisque $-\frac 12 < 0$ ;
• pour norme la moitié de celle de $\vec u$, car :

$$\left \Vert -\dfrac 12\vec u \right\Vert=\left\vert -\dfrac 12\right\vert \times \Vert \vec u\Vert=\dfrac 12\times \Vert \vec u\Vert $$

Vecteurs colinéaires

Le produit d’un vecteur par un réel nous permet de définir une nouvelle notion : la colinéarité de deux vecteurs.

Définition

Vecteurs colinéaires :

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls du plan.
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que :

$$\vec u=k\vec v$$

• Autrement dit, $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Nous avons vu plus haut que, pour tout vecteur $\vec u$ du plan, $0\vec u=\vec 0$. Nous admettons donc que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.

Propriété

• Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan, avec, d’une part, $A$ et $B$ distincts et, d’autre part, $C$ et $D$ distincts.
• Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$ sont colinéaires.

• Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
• Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{AC\ }$ sont colinéaires.