Fiche de révision : Limites d'une suite

Limite d’une suite

Théorèmes :

• La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
• Une suite n’a pas nécessairement de limite.

Limite finie

• Dire qu’un réel $l$ est limite d’une suite $u_n$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

$$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=l$$

On dit que $u_n$ est convergente de limite $l$ ou que $u_n$ converge vers $l$.

À retenir

$\lim\limits_{n \to +\infty}{1\over n} = 0$

$\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n^2}=0$

$ \lim\limits_{n \to +\infty}{1\over n^3}=0$

$ \lim\limits_{n \to +\infty}{1\over \sqrt n}=0$

Limite infinie

• Dire qu’une suite $u_n$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]A\ ;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

$$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$$

On dit que $u_n$ est divergente ou que $u_n$ diverge vers $+\infty$.

• Dire qu’une suite $u_n$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty\ ; A[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

$$\lim\limits_{n \to -\infty} u_n = -\infty$$

On dit que $u_n$ est divergente ou que $u_n$ diverge vers $-\infty$.

À retenir

Limites de suites de références :

$\lim\limits_{n \to +\infty}{n}=+\infty$

$\lim\limits_{n \to +\infty}{n^2}=+\infty$

$\lim\limits_{n \to +\infty}{n^3}=+\infty$

$\lim\limits_{n \to +\infty}{\sqrt n}=+\infty$

Limite et comparaison

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.

Si pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n_0$ :

• $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=+\infty$
• $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=- \infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty$

Le théorème des gendarmes

On considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$, et $(w_n)$.

• Si pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel $p$, $v_n \leq u_n \leq w_n$
• et si les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $l$,
• alors la suite $(u_n)$ converge vers $l$.

Opérations sur les limites