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Fiche de révision : Limites de fonctions

Limites de fonctions

Limites infinies à l’infini

Limites $+∞$ en $+∞$

Soit $a∈R$ et $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a;+∞[$.

$f$ a pour image $+\infty$ en $+\infty$ si les images $f(x)$ sont plus grandes que n’importe quel $A$ donné à condition de prendre un $x$ assez grand.

On note alors : $\lim\limits_{x \to + \infty} { {f(x)} }= +\infty$

Limites $-\infty$ en $+\infty$

Soit $a∈R$ et $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a;+∞[$.

$f$ a pour image $-∞$ en $+∞$ si les images $f(x)$ sont plus petites que n’importe quel $A$ donné à condition de prendre un $x$ assez grand.

On note alors $\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty $

Asymptotes

Asymptote horizontale et limite finie à l’infini

Définitions : limite finie à l’infini

Soit $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a;+∞[$ .

Dire que $f$ a pour limite le réel $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

On note alors : $\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty}f(x)=l $

  • On dit, dans ce cas, que la droite d’équation $y=l$ est asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.
  • On définit de même une asymptote horizontale d’équation $y=l$ au voisinage de $-∞$ lorsque $\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty}f(x)=l $

Méthode : Déterminer la position relative d’une courbe et de son asymptote.

Pour déterminer la position relative de la courbe $Cf$ par rapport à une asymptote d’équation $y=l$ il faut étudier le signe de la différence $f(x)-l$ :

  • Si $f(x)-l >0$ alors $f(x)>l$ et la courbe $C_f$ est au dessus de l’asymptote.
  • Si $f(x)-l <0$ alors $f(x) < l$ et la courbe $C_f$ est au dessus de l’asymptote.

Asymptote verticale et limite infinie en un point

Définition : limite infinie en un point

Soit $a$ un réel et $h$ un réel positif non nul ;

Soit $f$ une fonction définie sur une partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle $]a-h;a[$ ou $]a;a+h[$.

  • $f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi grand que l’on veut à condition de prendre $x$ suffisamment proche de $a$.

On note alors : $\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= +\infty$.

  • $f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi petit que l’on veut à condition de prendre $x$ suffisamment proche de $a$.

On note alors : $\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= -\infty$.

  • On dit dans ces cas que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

Limites à gauche et limite à droite

On parle de limite à gauche en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures à $a$.

On note :

  • $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}$

On parle de limite à droite en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures à $a$.

On note :

  • $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x > a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x > a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}$

Méthode pour définir une asymptote

  • Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer la limite à l’infini. Et inversement si une limite en l’infini a été calculée et que l'on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote horizontale.
  • Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer la limite en un point de l’axe des abscisses. Et inversement, si une limite en un réel $a$ a déjà été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote verticale.

Opérations sur les limites

Limites des fonctions usuelles

Fonctions de type $x^n$ :

Pour tout entier $n≥1$,

  • $\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty} x^n= +\infty$
  • $\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty} x^n= +\infty$ si $n$ est pair et
  • $\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty} x^n= -\infty$ si $n$ est impair.

Fonction inverse :

  • $\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} { \dfrac{1}{x} }= 0\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 } { \dfrac{1}{x} }= +\infty\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0 } { \dfrac{1}{x} }= - \infty\end{aligned}$

Fonction constante $f(x)=k$

avec k réel,

  • $\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} {k }= k\end{aligned}$

Fonction racine carrée :

  • $\lim\limits_{x \to +\infty} { \sqrt x }= +\infty$

Opérations sur les limites

  • Pour lever une forme indéterminée, il suffit très souvent de factoriser l'expression de la fonction.

Limites et comparaisons

Théorème de comparaison:

Soit $f$ et $g$ deux fonctions sur un intervalle $[a; +\infty[$ telles que :

  • si $f(x)\geq g(x)$
  • et si $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= +\infty$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= +\infty$

Soit $f$ et $g$ deux fonctions sur un intervalle $[a; +\infty[$ telles que :

  • si $f(x)\leq g(x)$
  • et si $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= -\infty$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= -\infty$
  • Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.

Théorème des gendarmes :

Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que :

  • $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $[a; +\infty[$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= l$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} {h( x) }= l$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }=l$.

Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.