Limites de fonctions
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Limite à l’infini
Limite à l’infini
- Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$.
- Une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$ donné, les images $f(x)$ sont supérieures à $A$ à partir de $x$ assez grand :
$$\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= +\infty$$
- Une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$ donné, les images $f(x)$ sont inférieures à $A$ à partir de $x$ assez grand :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= - \infty$$
- On définit de la même manière les limites infinies en $-\infty$.
- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ réel).
- Dire que $f$ a pour limite le réel $l$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand :
$$\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)=l$$
- La droite d’équation $y=l$ est alors asymptote horizontale en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.
Limite infinie en un point et asymptote verticale
Limite infinie en un point et asymptote verticale
- Soit $a$ un réel et $h$ un réel positif non nul et $f$ une fonction définie sur une partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle $]a-h\ ;\,a[$ ou $]a\ ;\,a+h[$.
- $f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout $A$, les images $f(x)$ sont supérieures à $A$ quand $x$ est suffisamment proche de $a$ :
$$\lim\limits_{x \to a}f(x)= +\infty$$
- $f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout $A$, les images $f(x)$ sont inférieures à $A$ quand $x$ est suffisamment proche de $a$ :
$$\lim\limits_{x \to a}f(x)= -\infty$$
- On parle de limite à gauche en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures à $a$.
- On parle de limite à droite en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures à $a$.
- La droite d’équation $x=a$ est alors asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$.
Déterminer une limite
Déterminer une limite
| $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n= +\infty$ | $n$ entier naturel |
| $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= +\infty$ | $n$ entier naturel pair |
| $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= -\infty$ | $n$ entier naturel impair |
| $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac 1x = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac 1x =0$ | |
| $\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}\dfrac 1x = +\infty$ | |
| $\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0}\dfrac 1x = -\infty$ | |
| $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt x= +\infty$ | |
| $ \lim\limits_{x\to -\infty} \text{e}^x =\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} =0$ | |
| $\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^x=+\infty$ | |
- Avec $a$ qui peut être un réel, $-\infty$ ou $+\infty$, $l$ et $l^{\prime}$ deux réels.
| $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ | $l$ | $l$ | $l$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ | $l^\prime$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)+g(x)}$ | $\red{l+l^\prime}$ | $\red{+\infty}$ | $\red{-\infty}$ | $\red{+\infty}$ | $\red{-\infty}$ | $\red{\text{FI}}$ |
| $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ | $l$ | $l>0$ | $l>0$ | $l<0$ | $l<0$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $0$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ | $l^\prime$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $\pm\infty$ |
| $\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)\times g(x)}$ | $\red{ l\times l^\prime}$ | $\red {+\infty}$ | $\red{-\infty}$ | $\red{-\infty}$ | $\red{+\infty}$ | $\red{+\infty}$ | $\red{-\infty}$ | $\red{+\infty}$ | $\red{\text{FI}}$ |
| $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ | $l$ | $l$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $\pm\infty$ | $l$ | $0$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ | $l^\prime\neq0$ | $\pm\infty$ | $l^\prime>0$ | $l^\prime<0$ | $l^\prime>0$ | $l^\prime<0$ | $\pm\infty$ | $0^+_-$ | $0$ |
| $\red{\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}}$ | $\red{ \dfrac l {l^\prime}}$ | $\red 0$ | $\red{+\infty}$ | $\red{-\infty}$ | $\red{-\infty}$ | $\red{+\infty}$ | $\red{\text{FI}}$ | $\red{\pm\infty}$ | $\red{\text{FI}}$ |
- Il existe donc quatre formes indéterminées : $(+\infty) + (-\infty )$ ; $0\times \infty$ ; $\dfrac {\infty}{\infty}$ ; $\dfrac {0}{0}$.
- Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.
- Fonction composée : soit $a$, $l$ et $L$ trois nombres réels, et $f$ et $g$ deux fonctions telles que : $g\,:\,I \to J$ et $f\,:\,J \to \mathbb{R}$.
- Si $\lim\limits_{x \to a} g(x)= l$ et $\lim\limits_{x \to l} f(x) = L$, alors :
$$\lim\limits_{x \to a} f\big(g(x)\big) = \lim\limits_{x \to a} (f\circ g)(x) = L$$
- La propriété est aussi valable lorsque $a$, $l$ ou $L$ sont $-\infty$ ou $+\infty$.
- Théorème de comparaison :
- Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)\geq g(x)$ sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= +\infty$, alors :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty$$
- Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)\leq g(x)$ sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)= -\infty$, alors :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} f( x)= -\infty$$
- Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.
- Théorème des gendarmes :
- Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $[a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= \lim\limits_{x \to +\infty} h( x)= l$, alors :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)=l$$
- Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$, et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.
- Pour tout entier naturel $n\geq 1$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text e^x}{x^n}= +\infty$