Lois à densité
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Notion de loi à densité
Notion de loi à densité
- Soit une fonction $f$ sur un intervalle $I=[a\ ;\, b]$ de $\mathbb R$.
- On dit que $f$ est une densité de probabilité, aussi appelée fonction de densité, sur $I$, si :
- $f$ est continue et positive sur $I$ ;
- l’aire (en unité d’aire) du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $I$ est égale à $1$ ; autrement dit, l’intégrale de $f$ sur $I$ est égale à $1$ :
$$\int_a^b f(x) \text dx=1$$
Fonction de densité
- L’intervalle $I$ peut être non borné, comme par exemple $[a\ ;\, +\infty[$ ($a$ réel). Nous notons alors :
$$\lim\limits_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) \text d x=1$$
- Soit $f$ une densité de probabilité sur un intervalle $I=[a\ ;\, b]$.
- La variable aléatoire $X$ suit la loi de densité de probabilité $f$ sur $I$ si, pour tout intervalle $[c\ ;\, d]$ inclus dans $I$, la probabilité que $X$ soit compris dans cet intervalle, autrement dit : $p(X\in [c\ ;\, d])$, est égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d’équations $x=c$ et $x=d$ :
$$\begin{aligned} p(X\in [c\ ;\, d])&=p(c\leq X \leq d) \\ &=\int_{c}^{d} f(x) \text dx \end{aligned}$$
Fonction de densité et probabilité
- Nous avons aussi :
$$p(c \leq X\leq d)= p(c < X\leq d)= p(c \leq X< d)= p(c < X< d)$$
- Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de densité $f$ sur $I=[a\ ;\, b]$.
- On appelle fonction de répartition de la variable $X$ la fonction $F$, définie sur $\mathbb R$ par :
$$F(x)=p(X\leq x)$$
- Elle est la primitive de $f$ sur l’intervalle $[a\ ;\, b]$ qui s’annule en $a$ et nous avons, pour tous $c$ et $d$ de $I$ tels que $c\leq d$ :
$$\begin{aligned} p(c\leq X\leq d) &=p(X\leq d)-p(X\leq c) \\ &=F(d)-F(c) \end{aligned}$$
- Ses indicateurs sont donnés par les formules :
| Espérance | $$E(X)=\int_a^b x f(x) \text{d}x$$ |
| Variance | $$V(X)=\int_a^b \big(x-E(X)\big)^2 f(x) \text{d}x$$ |
Loi uniforme sur un intervalle $[a\ ;\, b]$
Loi uniforme sur un intervalle $[a\ ;\, b]$
| Loi uniforme $U([a\ ;\,b])$, avec $a$ et $b$ des réels tels que $a < b$ | |
| Fonction de densité $f$ | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in [a\ ;\,b]$ :}}} \\ &f(x)=\dfrac 1{b-a} \end{aligned}$$ |
| Fonction de répartition $F$ | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in \mathbb R$ :}}} \\ &\begin{cases} F(x) = 0 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ } x < a } \\ F(x)=\dfrac{x-a}{b-a} & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x\in [a\ ;\, b]} \\ F(x)=1 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x > b} \end{cases} \end{aligned}$$ |
| Propriété | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels $c$ et $d$ de $[a\ ;\, b]$}}} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{tels que $ c \leq d$ :}}} \\ &p(c\leq X\leq d)=\dfrac{d-c}{b-a} \end{aligned}$$ |
| Espérance | $$E(X)=\dfrac{a+b}{2}$$ |
| Variance | $$V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$$ |
| Écart-type | $$\sigma(X)=\dfrac{b-a}{2 \sqrt{3}}$$ |
Loi uniforme et probabilité
Loi exponentielle
Loi exponentielle
| Loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda$ réel strictement positif | |
| Fonction de densité $f$ | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in [0\ ;\,+\infty[$ :}}} \\ & f(x)=\lambda \text{e}^{-\lambda x} \end{aligned}$$ |
| Fonction de répartition $F$ | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in \mathbb R$ :}}} \\ &\begin{cases} F(x) = 0 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ } x < 0 } \\ F(x)=1-\text{e}^{-\lambda x} & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x\geq 0 } \end{cases} \end{aligned}$$ |
| Propriétés | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels $c$ et $d$ tels que $0\leq c < d$ :}}} \\ &p(X\leq c)=1-\text{e}^{-\lambda c} \\ &p(X\geq c)= \text{e}^{-\lambda c} \\ &p(c\leq X \leq d)= \text{e}^{-\lambda c}-\text{e}^{-\lambda d} \end{aligned}$$ |
| $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels positifs $x$ et $h$ :}}} \\ & p_{X\geq x}(X\geq x+h)=p(X\geq h) \end{aligned}$$ | |
| Espérance | $$E(X)=\dfrac{1}{\lambda} $$ |
| Variance | $$V(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}$$ |
| Écart-type | $$\sigma(X)=\dfrac{1}{\lambda}$$ |
Loi exponentielle et probabilité
- Soit une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0\ ;\, +\infty[$.
- On appelle demi-vie la durée $D$ telle que la probabilité que $X$ soit inférieur ou égal à $D$ est égale à la probabilité que $X$ soit supérieur ou égal à $D$, soit :
$$p(0\leq X\leq D)=p(X\geq D)=\dfrac 12$$
- Et nous avons :
$$ D=\dfrac{\ln{(2)}}{\lambda}$$