Les matrices
Introduction :
Dans cette leçon, nous allons introduire la notion de matrice, puis nous verrons la façon d’y réaliser les différentes opérations. Nous aborderons ensuite les notions de matrice identité et de matrice inverse pour finir par l’écriture matricielle d’un système d’équations linéaires.
Notion de matrice
Notion de matrice
Définition
Matrice :
Un tableau de nombres ayant $n$ lignes et $p$ colonnes est une matrice de dimension notée « $n\times p$ ».
Le coefficient situé à la $i^{\text e}$ ligne et $j^{\text e}$ colonne est désigné par $a_{ij}$ La notation générale d’une matrice est :
$M= \begin{pmatrix} a_{11}&…&a_{1p}\\ …&…&…\\ a_{n1}&…&a_{np} \end{pmatrix}$
$a_{11}$ est le coefficient de la première ligne et première colonne
$a_{n1}$ est le coefficient de la $n^{\text e}$ ligne et première colonne, etc.
Il existe des matrices particulières, par exemple :
- La matrice ligne
$\;M= \begin{pmatrix} -1&5&2\\ \end{pmatrix}$
- La matrice colonne
$\;N= \begin{pmatrix} 6\\ 8\\ 1 \end{pmatrix}$
- La matrice carrée, qui possède autant de lignes que de colonnes.
$P= \begin{pmatrix} 2&4\\ -3&1\\ \end{pmatrix}\;$ est une matrice carrée d’ordre $2$ ($2$ lignes et $2$ colonnes).
Définition
Égalité de deux matrices :
Dire que deux matrices sont égales signifie que :
- elles ont le même format ;
- les nombres qui occupent la même position sont égaux deux à deux.
Opérations sur les matrices
Opérations sur les matrices
Addition et soustraction de deux matrices
Addition et soustraction de deux matrices
Propriété
Si $M$ et $N$ sont deux matrices de même format, la somme (ou respectivement la différence) des matrices $M$ et $N$ notée $M+N$ (respectivement $M-N$) est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.
Exemple
$\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&1\\ 4&7 \end{pmatrix} \text{ et } N=\begin{pmatrix} 3&-2\\ 5&-4 \end{pmatrix}\\ M+N&=\begin{pmatrix}2+3&1+(-2)\\4+5&7+(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\9&3\end{pmatrix}\\ M-N&=\begin{pmatrix}2-3&1-(-2)\\4-5&7-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&3\\ -1&11 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Multiplication d’une matrice par un réel
Multiplication d’une matrice par un réel
Propriété
Le produit d’une matrice $M$ par un nombre réel $k$ est la matrice, notée $kM$ obtenue en multipliant chaque coefficient de $M$ par $k$.
Exemple
$M=\begin{pmatrix}2&1\\4&7\end{pmatrix}\text{ avec }k=3$
Alors
$kM=\begin{pmatrix}2\times 3&1\times3\\4\times3&7\times 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6&3 \\ 12&21 \end{pmatrix}$
Multiplication de deux matrices
Multiplication de deux matrices
Propriété
Le produit d’une matrice carrée d’ordre $n$ par une matrice colonne à $n$ lignes est une matrice colonne à $n$ lignes.
Exemple
$\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \\ 5&1&-2 \\ 1&7&-4 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2\\3\\6 \end{pmatrix} \\ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times 2+(-3)\times3+1\times6 \\ 5\times 2+1\times3+(-2)\times6 \\ 1\times 2+7\times3+(-4)\times6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\end{aligned}$
Propriété
Le produit d’une matrice ligne à $n$ colonnes par une matrice carrée d’ordre $n$ est une matrice ligne à $n$ colonnes.
Exemple
$ M=\begin{pmatrix} 2&3&6 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \\ 5&1&-2 \\ 1&7&-4 \end{pmatrix}$
$\begin{aligned} M\times N =\begin{pmatrix} &2\times 2+3\times 5+6\times 1 \\ &2\times(-3)+3\times1+6\times7 \\ &2\times1+3\times(-2)+6\times(-4) \end{pmatrix}\end{aligned}$
$::::::::::::=\begin{pmatrix} 25&39&-28 \end{pmatrix}$
Propriété
Le produit de deux matrices carrées d’ordre $n$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
Exemple
$\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix} : \text{ et }:N=\begin{pmatrix} 2&1\\3&1 \end{pmatrix}\\ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times2+5\times3&2\times1+5\times1\\3\times2+8\times3&3\times1+8\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19&7\\30&11 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Attention
Dans la plupart des cas, $M\times N≠N\times M$
De plus, dans tous les cas, pour pouvoir effectuer la multiplication $M\times N$ le nombre de colonnes de $M$ doit être égal au nombre de lignes de $N$.
Toutes les opérations sur les matrices peuvent également se faire directement à la calculatrice.
- CALCULATRICE : saisir une matrice
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Sur TI |
Sur CASIO |
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- CALCULATRICE : multiplier deux matrices
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Sur TI |
Sur CASIO |
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Matrice identité
Matrice identité
Définition
Matrice identité :
$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
On l’appelle aussi matrice unité.
Exemple
$I_2=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}:\text{ et }:I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}:$ sont des matrices unité.
Propriété
Pour toute matrice carrée $A$ d’ordre $n$ on a $A\times I_n=A$ et $I_n\times A=A$
Matrice inverse d’une matrice carrée
Matrice inverse d’une matrice carrée
Définition
Matrice inverse d’une matrice carrée :
$A$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
Lorsqu’il existe une matrice carrée $A^{-1}$ d’ordre $n$ telle que $A^{-1}\times 1A=A\times A^{-1}=I_n$, on dit que $A^{-1}$ est la matrice inverse de $A$.
Lorsqu’elle existe, la matrice $A^{-1}$ est unique.
La matrice inverse d’une matrice carrée, si elle existe, peut s’obtenir directement à l’aide de la calculatrice par la touche inverse.
- CALCULATRICE : obtenir la matrice inverse
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Sur TI |
Sur CASIO |
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Astuce
Trouver la matrice inverse par le calcul
Soit $A=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}$. Cherchons sa matrice inverse $A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
D'après la définition de la matrice inverse : $\boxed{A^{-1}\times A=I}$
Donc $\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$
Exemple
D'après les régles d'opération sur les matrices, on a :
$:\boxed 1:$
$\bigg\lbrace \begin{aligned} 2a+3b &=1 \\ 5a+8b &=0 \end{aligned}:$ et
$:\boxed 2:$
$\bigg\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\\5c+8d&=1\end{aligned}\ $
- Résolution du système $:\boxed 1$ :
$\left\lbrace \begin{aligned}{}2a+3b&=1\\5a+8b&=0\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace \begin{aligned}2a+3b&=1\\5a&=-8b\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}{}2a+3b&=1\\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}2\big(-\dfrac85b\big)+3b&=1\\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}-\dfrac{16}5b+\dfrac{15}5b&=1\\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}-\dfrac15b&=1\\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}b&=-5\\a&=-\dfrac85\times(-5)\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}b&=-5\\a&=8\end{aligned}\right.$
- Résolution du système $:\boxed 2$ :
$\left\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\\5c+8d&=1\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}2c&=-3d\\5c+8d&=1\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\dfrac32d\\5c+8d&=1\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\dfrac32d\\5(\frac {3}{2}d)+8d&=1\end{aligned}\right.$
$ \Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}d \\ -\frac{15}{2}d+\frac{16}{2}d&=1\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}d\\ \frac{1}{2}d&=1\Leftrightarrow d=2\end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}\times 2\Leftrightarrow c=-3\\d&=2\end{aligned}\right.$
On obtient donc la matrice inverse suivante : $A^{-1}=\begin{pmatrix} 8&-5 \\ -3&2 \end{pmatrix}$
Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires
Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires
Dans la résolution d’un système de $n$ équations à $n$ inconnues :
- la matrice $A$ des coefficients du système est une matrice carrée d’ordre $n$ ;
- la matrice $X$ des inconnues est une matrice colonne à $n$ lignes ;
- la matrice $B$ des seconds membres est une matrice colonne à $n$ lignes.
Par exemple, si l’on considère le système :
On va utiliser les matrices suivantes pour résoudre ce système :
$A=\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}$ ; $:X=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ ; $:B=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$
Propriété
$A$ est une matrice carrée qui admet une matrice inverse $A^{-1}$. Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est $A\times X=B$ admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant $X=A^{-1}\times B$.
Astuce
Résoudre un système d’équation à l’aide des matrices
Résoudre le système d’équations $\bigg\lbrace \begin{aligned}1x+3y=5\\ 2x+4y=1\end{aligned}\ $
Ce système correspond à l’écriture matricielle $\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$.
On calcule la matrice inverse de $A$. À la calculatrice on obtient $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}$.
On peut donc écrire $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$
En multipliant les deux matrices, on obtient $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\times5+1,5\times1\\1\times5+(-0,5)\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8,5\\4,5 \end{pmatrix}$
Le couple solution du système est donc $\bigg\lbrace \begin{aligned}x=-8,5\\y=4,5\end{aligned}\ $