Cours : Statistiques

• La population étudiée est l’ensemble des $20$ jeunes de 18 à 25 ans pris au hasard dans la rue.
• Le caractère étudié est le nombre de films vus durant les six derniers mois (caractère quantitatif).
• Les données sont tous les résultats obtenus (soit les $20$ données citées dans la série ci-dessus).
• Les valeurs sont les $7$ valeurs prises par le caractère : $0$, $1$, $3$, $4$, $5$, $6$ et $12$.
• L’effectif total est le nombre d’individus sur lesquels est faite l’enquête, soit $20$.

Par exemple :

• l’effectif de la valeur $4$ est $2$ ($4$ apparaît $2$ fois dans la liste ;
• $2$ jeunes interrogés ont vu $4$ films durant les six derniers mois) ;
• la fréquence de la valeur $4$ est :

$$\dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10} = 0,1 = 10\,\%$$

• $10\,\%$ des jeunes interrogés ont vu $4$ films durant les six derniers mois.

En effectuant les mêmes calculs que précédemment pour toutes les valeurs de la série, on obtient le tableau de données suivant :

Pour cette étude, le calcul de la moyenne donne :

$$\begin{aligned}\small{\dfrac{1+0+1+4+3+1+3+0+5+1+0+6+3+1+5+12+0+3+1+4}{20}}&\small{= \dfrac{54}{20}} \\ &\small{= 2,7} \end{aligned}$$

Ce qui peut être analysé ainsi : au total, les $20$ jeunes ont vu $54$ films, ce qui fait une moyenne de $2,7$ films.

• Les jeunes de ce groupe ont vu en moyenne $2,7$ films durant les six derniers mois.

On remarque que :

• $2,7$ n’est pas une valeur de la série de données.
• $2,7$ est bien compris entre $0$ et $12$.
• $2,7$ n’est pas égal à la valeur de la moyenne des deux valeurs extrêmes $0$ et $12$ :

$$\dfrac{0+12}{2} = 6 \neq 2,7$$

Reprenons le même exemple et le tableau des effectifs réalisé :

Le calcul de la moyenne pondérée $M_\text{p}$ donne :

$$\begin{aligned} M_\text{p}&=\dfrac{0\times4+1\times6+3\times4+4\times2+5\times2+ 6\times1+12\times1}{20} \\ &= \dfrac{6+12+8+10+6+12}{20} \\ &= \frac{54}{20} \\ &= 2,7 \end{aligned}$$

• Nous obtenons bien sûr la même valeur que celle obtenue pour la moyenne.

Cas de l’étude 1 (effectif total égal à $20$)

• Classons nos données dans l’ordre croissant. On obtient la série ordonnée suivante :
  $0$ - $0$ - $0$ - $0$ - $1$ - $1$ - $1$ - $1$ - $1$ - $1$ - $3$ - $3$ - $3$ - $3$ - $4$ - $4$ - $5$ - $5$ - $6$ - $12$

• L’effectif total est égal à $20$. Ainsi, nous pouvons partager cette série en deux groupes de $10$ données chacun :

$$\small \underbrace{0 - 0 - 0 - 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - \red 1}_{\normalsize \text {dix données}} \red- \underbrace{\red 3 - 3 - 3 - 3 - 4 - 4 - 5 - 5 - 6 - 12}_{\normalsize \text {dix données}}$$ $$\red {\overbrace {\text{Valeurs centrales}}}$$

• Les $2$ valeurs centrales sont la $10^{\text e}$ et la $11^{\text e}$ données, soit $1$ et $3$.
• La médiane est donc comprise entre $1$ et $3$.

Comme on le fera le plus souvent, on choisit pour valeur de la médiane la moyenne des deux valeurs centrales, soit :

$$\dfrac{1+3}{2} = \dfrac 42 = 2$$

• Une médiane de la série est donc $2$, ce qui signifie ici qu’il y a autant de jeunes qui ont vu moins de $2$ films que de jeunes qui ont vu plus de $2$ films.

Nous constatons que la médiane n’est pas une des valeurs de la série et qu’elle est différente de la moyenne égale à $2,7$.

Cas de l’étude 2
On étudie les notes obtenues à un TP de physique-chimie par les $13$ élèves d’un demi-groupe de 4^e.
Voici les notes obtenues :
$12$ - $13,5$ - $19$ - $12,5$ - $18$ - $12$ - $18$ - $10$ - $12$ - $19$ - $14$ - $15$ - $9$

• Classons nos données dans l’ordre croissant. On obtient la série ordonnée suivante :
  $9$ - $10$ - $12$ - $12$ - $12$ - $12,5$ - $13,5$ - $14$ - $15$ - $18$ - $18$ - $19$ - $19$
• L’effectif total est égal à $13$. Ainsi, nous pouvons partager cette série en deux groupes de $6$ données chacun :

$$\underbrace{9 - 10 - 12 - 12 - 12 - 12,5}_{\normalsize \text {six données}} - \red{13,5} - \underbrace{14 - 15 - 18 - 18 - 19 - 19}_{\normalsize \text {six données}}$$ $$\red{\overbrace{\text{Valeur centrale}}}$$

La valeur centrale est la $7^{\text e}$ donnée, soit $13,5$.

• La médiane est donc égale à $13,5$, ce qui signifie ici qu’il y a autant d’élèves qui ont eu une note inférieure ou égale à $13,5$ que d’élèves qui ont eu une note supérieure ou égale à $13,5$.