Modélisation d’un mouvement

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Vitesse et accélération

Vecteur vitesse
La vitesse instantanée d’un système est égale à la dérivée, par-rapport au temps, de son vecteur position. Elle est définie à tout instant $t$ de l’étude du mouvement du système : $$\vec{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}(t)$$
Vecteur accélération
L’accélération instantanée d’un système est égale à la dérivée, par-rapport au temps, de son vecteur vitesse instantanée. Elle est définie à tout instant $t$ de l’étude du mouvement du système : $$\vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}(t)$$
Expressions dans un repère cartésien

Vecteur position	Vecteur vitesse instantanée	Vecteur accélération instantanée
$$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$$	$$\begin{pmatrix} v_{x}(t) = \dfrac{dx}{dt} = \dot{x} \\ \\ v_{y}(t) =\dfrac{dy}{dt} = \dot{y} \end{pmatrix}$$	$$ \begin{pmatrix} a_{x}(t) = \dfrac{dv_{x}}{dt} = \ddot{x} \\ \\ a_{y}(t) = \dfrac{dv_{y}}{dt} = \ddot{y} \end{pmatrix}$$

Un système en mouvement rectiligne uniforme est caractérisé par :
un vecteur vitesse constant ;
un vecteur accélération égal au vecteur nul.
Un système en mouvement rectiligne uniformément accéléré ne subit aucun changement de trajectoire, il est caractérisé par :
une valeur de sa vitesse qui varie toujours dans le même sens, et augmente uniformément au cours du temps ;
un vecteur accélération constant et parallèle à la trajectoire.

Un système en mouvement circulaire uniforme est caractérisé par :
une trajectoire circulaire :
une vitesse dont la valeur est constante ;
un vecteur accélération perpendiculaire à son vecteur vitesse, et de norme constante.
Repère de Frenet
Le repère de Frenet n’est pas fixe, car il « suit » le mouvement.
Le centre du repère du Frenet est le point matériel représentant le système étudié. Les deux vecteurs unitaires définissant ses axes sont :
le vecteur tangent $\vec{T}$, parallèle à la vitesse et de même sens ;
le vecteur normal $\vec{N}$, perpendiculaire à $\vec{T}$ et dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire, au point considéré.

repère du Frenet Légende

Le système étudié suit une trajectoire circulaire de rayon $R$. Dans le repère de Frenet, ses vecteurs vitesse et accélération s’écrivent :

$$\vec{v} = || \vec{v} || \cdot \vec{T}$$ $$\vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{T} + \frac{v^2}{R} \vec{N}$$