Cours : Modéliser une situation

Modéliser une situation par une équation

Définition et méthode

Définition

Modélisation d’une situation par une équation :

Modéliser une situation par une équation, c’est la traduire sous la forme d’une équation à une ou plusieurs inconnues.

En quatrième, nous ne résoudrons que des équations du premier degré à une inconnue. Cela signifie que les situations que nous aurons à modéliser n’auront qu’un seul nombre inconnu (mais qui peut revenir plusieurs fois dans l’expression de l’équation) ; de plus, les inconnues ne seront élevées qu’à la puissance $1$ (pas de $x^2$ ou de $x^3$, par exemple).

Dans ces conditions, nous pouvons retenir la méthode suivante pour modéliser et résoudre un problème.

À retenir

Méthode : Comment modéliser une situation

Avant de se lancer, on s’assurera d’avoir bien compris l’énoncé, ce que l’on cherche. On pourra s’aider d’un schéma si nécessaire.

• Choisir l’inconnue (en général le nombre correspondant à ce qui est demandé) et la nommer.
• S’il y a plusieurs nombres à chercher, il convient d’exprimer tous les nombres en fonction de l’inconnue.
• Mettre le problème en équation (traduire le texte par des écritures mathématiques).
• Résoudre l’équation obtenue, en utilisant les propriétés sur les égalités et les opérations.
• Vérifier que la solution trouvée est juste et qu’elle répond bien au problème posé.
• Conclure en répondant à la question posée.

Exemples

Exemple 1

Quel est le nombre entier dont le double augmenté de $9$ est égal à $15$ ?

• Choix de l’inconnue

Astuce

On utilise souvent la lettre $x$ pour désigner un nombre inconnu. Mais vous êtes libres de choisir la lettre que vous souhaitez, sauf si l’énoncé vous l’impose, et dans la mesure où cela ne crée pas d’ambiguïté avec d’autres données.

• Ici, nous allons utiliser la lettre $n$ pour désigner l’inconnue, car, par convention, on l’utilise souvent pour désigner des nombres entiers.

L’inconnue est le nombre entier recherché.

• On le note $n$.
• Mise en équation

Le double de $n$ augmenté de $9$, c’est : $2n + 9$.
Et ce nombre doit être égal à $15$.

• On obtient ainsi l’équation suivante, qui modélise le problème :

$$2n + 9 = 15$$

• Résolution de l’équation

On cherche à résoudre l’équation : $2n+9=15$.

Pour cela, on commence par mettre d’un côté les termes avec $n$ et de l’autre les nombres connus, en nous servant de la propriété suivante.

Propriété

Une égalité reste vraie si on ajoute ou soustrait un même nombre à ses deux membres.

On obtient ainsi :

$$\begin{aligned} 2n+9\green{-9}&=15\green{-9} \\ 2n&=6 \end{aligned}$$

Astuce

Une fois qu’on a bien compris comment utiliser cette propriété, on peut faire « passer » directement le terme d’une somme « de l’autre côté » du signe égal en changeant son signe.

• Ici, on fait « passer » $+9$ du membre de gauche dans le membre de droite en changeant son signe, il « devient » donc $-9$ :

$$\begin{aligned} 2n\pink{+9}&=15 \\ 2n&=15\pink{-9} \end{aligned}$$

Reste maintenant à nous « débarrasser » du $2$ dans le membre de gauche, pour avoir directement la valeur de $n$. On se sert alors d’une autre propriété, que nous rappelons ci-dessous.

Propriété

Une égalité reste vraie si on multiplie ou divise ses deux membres par un même nombre non nul.

• On divise ici les deux membres par $2$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{2n}2&=\dfrac 62 \\ n&=3 \end{aligned}$$

• Vérification

On vérifie que $3$ correspond bien à la définition du nombre recherché.
Le double de $3$, c’est : $6$.
On ajoute $9$ à ce résultat : $6+9=15$.

• $3$ vérifie bien la définition du nombre.
• Conclusion
• Le nombre entier dont le double augmenté de $9$ est égal à $15$ est $3$.

Exemple 2

Mon quintuple diminué de $7$ est égal à mon double augmenté de $3$. Qui suis-je ?

• Choix de l’inconnue

Soit $x$ le nombre recherché.

• Mise en équation

Le quintuple de $x$ diminué de $7$, c’est : $5x - 7$.
Son double augmenté de $3$, c’est : $2x + 3$.
Et ces deux nombres doivent être égaux.

• On obtient ainsi l’équation suivante, qui modélise le problème :

$$5x - 7 = 2x + 3$$

• Résolution de l’équation

On commence par rassembler, d’un côté, les termes avec $x$ et, de l’autre, ceux qui sont des nombres connus.

$$\begin{aligned} 5x \purple{- 7} &= \pink{2x} + 3 \\ 5x\pink{-2x} &= 3\purple{+7} \end{aligned}$$

On peut maintenant réduire le membre de gauche et effectuer l’opération du membre de droite :

$$3x=10$$

• Il ne reste plus qu’à diviser par $3$ :

$$x=\dfrac {10}3$$

• Vérification

On vérifie que $\frac{10}3$ correspond bien à la définition du nombre recherché.

D’une part :

• le quintuple de $\frac {10}3$, c’est :

$$5\times \dfrac {10}3=\dfrac {50}3$$

• on soustrait $7$ à ce résultat :

$$\begin{aligned} \dfrac {50}3-7&=\dfrac {50}3-\dfrac {21}3 \\ &=\green{\dfrac {29}3} \end{aligned}$$

D’autre part :

• le double de $\frac {10}3$, c’est :

$$2\times \dfrac {10}3=\dfrac {20}3$$

• on ajoute $3$ à ce résultat :

$$\begin{aligned} \dfrac {20}3+3&=\dfrac {20}3+\dfrac 93 \\ &=\green{\dfrac {29}3} \end{aligned}$$

Les deux calculs donnent le même résultat.

• $\frac {10}3$ vérifie bien la définition du nombre.
• Conclusion
• Le nombre dont le quintuple diminué de $7$ est égal à son double augmenté de $3$ est $\frac{10}3$.

Applications

Nous allons maintenant appliquer la modélisation à deux problèmes concrets, sous la forme d’exercices, à résoudre par vous-même avant de consulter les corrigés.

Problème numérique

Énoncé

Les parents d’une équipe de $15$ joueuses de basket décident de se cotiser pour offrir un cadeau de fin de saison à l’entraîneur. Toutes les familles donnent, certaines $10\ €$, d’autres $5\ €$.
Le montant de la cagnotte s’élève à $105\ €$.

• Combien de familles ont donné $10\ €$ ?
  Combien ont donné $5\ €$ ?

Corrigé

• Choix de l’inconnue

Astuce

Ici, on cherche deux nombres : celui des familles qui ont donné $10\ €$ et celui des familles qui ont donné $5\ €$. On n’a pas pour autant deux inconnues !
En effet, il y a au total $15$ familles qui ont donné. Donc, si on connaît le nombre de celles qui ont donné un montant, on connaîtra le nombre de celles qui ont donné l’autre montant.

Ici, on peut choisir indifféremment comme inconnue le nombre de familles qui ont donné $10\ €$, ou celles qui ont donné $5\ €$.
Nous allons dans ce corrigé faire un choix, mais ça reste correct si vous avez fait l’autre.

Soit $x$ le nombre de familles qui ont donné $10\ €$.

• Mise en équation

Si $x$ familles ont donné $10\ €$, alors $(15 – x)$ familles ont donné $5\ €$.
Les $x$ familles ont donné : $x\times 10\ €$, soit $(10x)\ €$.
Les $(15 - x)$ familles ont donné : $(15-x)\times 5\ €$, soit $\big(5(15-x)\big)\ €$.

La cagnotte finale s’élève à $105\ €$.
Donc la somme des deux montants calculés ci-dessus est égale à $105\ €$, soit :

$$10x + 5(15-x) = 105$$

• C’est l’équation qui modélise notre problème.

Attention

Cette étape est absolument fondamentale : si vous comprenez mal l’énoncé, ou le modélisez mal, tous vos résultats seront faux ! Il convient donc de bien raisonner et vérifier que l’équation que vous obtiendrez traduit bien la situation du problème.
Cela fait, il ne restera plus que de la « technique » !

• Résolution de l’équation

On a à résoudre :

$$10x + 5(15-x) = 105$$

On va donc transformer les égalités en utilisant les propriétés sur les opérations, afin d’isoler $x$ :

$$\begin{aligned} 10x + 5\times 15-5x &= 105 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [on développe]}}} \\ 10x + 75-5x &= 105 \\ 5x + 75 &= 105 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [on réduit]}}} \\ 5x&=105-75 \\ 5x&=30 \\ x&=\dfrac {30}5 \\ x&=6 \end{aligned}$$

• Vérification

Vérifions que $6$ répond bien au problème posé.

Si $6$ est le nombre de familles qui ont donné $10\ €$, alors $15 - 6=9$ est le nombre de familles qui ont donné $5\ €$.

Les $6$ premières familles ont donné : $6 \times 10\ € = 60\ €$.
Les $9$ autres familles ont donné : $9 \times 5\ € = 45\ €$.
L’ensemble des familles a donc donné $60\ € + 45\ € = 105\ €$.

On retrouve bien le bon montant de la cagnotte.

• $6$ répond donc bien au problème posé dans l’énoncé.
• Conclusion
• En réponse au problème posé, nous pouvons affirmer que $6$ familles ont donné $10\ €$ et $9$ familles ont donné $5\ €$.

Astuce

Si vous avez posé $x$ le nombre de familles qui ont donné $5\ €$, l’équation à résoudre est alors :

$$5x+10(15-x)=105$$

La solution de cette équation est $x=9$. Donc $9$ familles ont donné $5\ €$.

• Vous retrouvez bien les mêmes résultats lors de la conclusion.

Problème géométrique

Énoncé

On considère le rectangle $ABCD$ représenté ci-dessous avec quelques codages géométriques :

Le périmètre de $ABCD$ vaut $27\ \text{cm}$.

• Quelles sont la largeur et la longueur du rectangle ?

Corrigé

Astuce

Ici, le codage de la figure nous permet de voir que $AB$, soit la largeur du rectangle, et $AI$ sont égales. En outre, on connaît la longueur de $[DI]$.
On peut donc exprimer la longueur du rectangle en fonction de sa largeur. On choisit assez naturellement la largeur comme inconnue. (On pourrait aussi exprimer la largeur en fonction de la longueur et choisir la longueur comme inconnue – le raisonnement est juste, seulement un peu moins direct.)

• Choix de l’inconnue

Soit $l$ la largeur du rectangle.

• Mise en équation

La longueur du rectangle est égale à : $AD=AI+ID$.
Comme $ID=3\ \text{cm}$, que $AI=AB$ et que $AB$ est la largeur, la longueur de $ABCD$ vaut : $l+3$.
On a ainsi :

• largeur : $l$ ;
• longueur : $l+3$.

Le périmètre du rectangle $ABCD$ est donc égal à :

$$2\times (l+l+3)=2(2l+3)$$

Ce périmètre vaut $27\ \text{cm}$.

• On modélise donc le problème par l’équation :

$$2(2l+3)=27$$

• Résolution de l’équation

Résoudre ce problème revient donc à résoudre l’équation :

$$2(2l+3)=27$$

On peut opérer de deux façons :

• première méthode, en commençant par développer le membre de gauche :

$$\begin{aligned} 2\times 2l+2\times 3&=27 \\ 4l+6&=27 \\ 4l&=27-6 \\ 4l&=21 \\ l&=\dfrac{21}4 \\ l&=5,25 \end{aligned}$$

• deuxième méthode, en commençant par diviser les deux membres par $2$ :

$$\begin{aligned} 2l+3&=\dfrac{27}2 \\ 2l+3&=13,5 \\ 2l&=13,5-3 \\ 2l&=10,5 \\ l&=\dfrac{10,5}2 \\ l&=5,25 \end{aligned}$$

• Vérification

Vérifions que $5,25$ répond bien au problème posé.

La largeur vaut donc : $5,25\ \text{cm}$.
La longueur vaut alors : $5,25\ \text{cm}+3\ \text{cm}=8,25\ \text{cm}$.
Le périmètre de $ABCD$ vaut ainsi :

$$\begin{aligned} 2(5,25+8,25)&=2\times 13,5 \\ &=27 \end{aligned}$$

• Le périmètre vaut alors bien $27\ \text{cm}$ ; $5,25$ répond bien au problème posé.
• Conclusion
• La largeur du rectangle $ABCD$ est $5,25\ \text{cm}$ et sa longueur $8,25\ \text{cm}$.

Astuce

Si vous avez choisi la longueur comme inconnue, l’équation à résoudre devient :

$$2(2L-3)=27$$

La solution de cette équation est $L=8,25$. Donc la longueur du rectangle vaut $8,25\ \text{cm}$.

• Vous retrouvez bien les mêmes résultats lors de la conclusion.