Mouvement dans un champ uniforme

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Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Le champ de pesanteur, noté $\vec g$, est égal au champ de gravitation à l’endroit où l’expérience est réalisée. Il est défini par :
sa direction : vertical ;
son sens : orienté vers le centre de masse de la planète à la surface de laquelle on se trouve (c’est-à-dire « vers le bas ») ;
sa norme : dépend du lieu.
Dans un champ de pesanteur uniforme, la direction, le sens et la norme de $\vec g$ sont identiques, c’est-à-dire que $\vec g=\overrightarrow{\text{cste}}$. Sur Terre, si la région de l’espace considérée est assez petite par rapport à ses dimensions, alors on peut considérer que le champ de pesanteur y est uniforme.

Nous choisissons d’étudier le mouvement d’un système, dans un champ de pesanteur uniforme, dans le repère orthonormé $\mathcal R=(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)$, où $O$ est la position de $S$ à $t=0$ :

mouvement dans un champ de pesanteur uniforme Position du système à l’instant initial

Le système n’est donc soumis qu’à son poids $\vec P$, constant, et : $\vec P=m \vec g$.
Selon la 2^e loi de Newton, nous avons, avec $\vec a$ l’accélération de $S$ : $\vec a=\vec g$
L’accélération de $S$ est donc égale au champ de pesanteur, elle est constante.

Coordonnées en fonction du temps du vecteur accélération	$$\vec a(t) \begin{pmatrix} 0 \\ -g \\ 0 \end{pmatrix}$$
Coordonnées en fonction du temps du vecteur vitesse	$$\vec v(t) \begin{pmatrix} v_0 \cos{(\alpha)} \\ -g t+ v_0 \sin{(\alpha)} \\ 0 \end{pmatrix}$$
Coordonnées en fonction du temps du vecteur position	$$\overrightarrow{OS\ }(t) \begin{pmatrix} v_0 \cos{(\alpha)} t \\ -\dfrac 12 g t^2+ v_0 \sin{(\alpha)} t \\ 0\end{pmatrix}$$

Dans un champ de pesanteur uniforme, et dans les conditions indiquées plus haut, le mouvement du centre de masse du système est inclus dans le plan.
Le mouvement est donc plan.
L’équation de la trajectoire est : $$\boxed{y=-\dfrac {g}{2v_0^2 \cos^2{(\alpha)}}x^2+\tan{(\alpha)}x}$$

Un champ électrique est un champ vectoriel $\vec E$ qui traduit l’action d’une force électrique sur une charge électrique : la force de Coulomb.
Le champ électrique $\vec E$ créé entre les plaques du condensateur dépend de la tension électrique appliquée $U$ et de la distance $d$ entre les plaques : $$\vec{E}=\dfrac{U}{d}\cdot\vec u_x$$
Le champ électrique $\vec E$ est orienté du $+$ vers le $-$.

Mouvement dans un condensateur

Nous allons étudier le mouvement d’un électron de charge $q=-e$ et de masse $m_e$ dans un champ électrique uniforme.
Le mouvement sera aussi plan donc nous travaillerons avec un repère orthonormé direct $\mathcal R=(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)$, avec $O$ la position de la particule à $t=0$.

Mouvement dans un champ électrique uniforme

L’électron n’est soumis qu’au champ électrique uniforme $\vec E$.
Avec la 2^e loi de Newton, nous pouvons écrire : $$\begin{aligned} \sum \vec F_{\text{ext}}=m_e \vec a &\Leftrightarrow e \vec E = m_e \vec a \\ &\Leftrightarrow \vec a=-\dfrac{e}{m_e}\cdot \vec E \end{aligned}$$
L’accélération est donc constante, colinéaire à $\vec E$ et de sens opposé.

Coordonnées en fonction du temps du vecteur accélération	$$\vec a(t) \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac {e E}{m_e} \\ 0 \end{pmatrix}$$
Coordonnées en fonction du temps du vecteur vitesse	$$\vec v(t) \begin{pmatrix} v_0 \\ \dfrac {e E} {m_e} \cdot t \\ 0 \end{pmatrix}$$
Coordonnées en fonction du temps du vecteur position	$$\overrightarrow{OS\ }(t) \begin{pmatrix} v_0 t \\ \dfrac {e E} {2m_e} \cdot t^2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

L’équation de la trajectoire est : $$\boxed{y=\dfrac {e E}{2 m_e v_0^2}\cdot x^2}$$

Dans un référentiel supposé galiléen, l’énergie mécanique $E_\text{m}$ d’un système dans un champ uniforme soumis uniquement à un champ extérieur est constante. $$E_\text{m}=\text{constante}$$
Son énergie potentielle $E_\text{p}$ et son énergie cinétique $E_\text{c}$ varient donc de manières opposées, et peuvent être exprimées comme des fonctions du temps, en utilisant les équations horaires.

Lorsqu’un système est en mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, sans force de frottement, il y a conservation de l’énergie mécanique. Si l’origine coïncide avec le point de départ du mouvement de notre système alors $E_{\text{pp}}=0$.
L’énergie mécanique du système peut s’écrire : $$E_{\text{m}}=\dfrac 12 mv^2+mgy$$
La conservation de l’énergie mécanique nous donne alors : $$v= \sqrt{v_0^2-2gy}$$

Le champ électrique uniforme permet à une particule de charge $q$ d’accélérer dans un accélérateur linéaire de particules.
Le travail de la force électrique $\vec F_{\text{e}}$ entre les positions $A$ et $B$ s’écrit : $$W_{AB}(\vec F_{\text{e}})= qU_{AB}$$
Dans un accélérateur de particules, nous utilisons une tension électrique $U_{AB}$ tel que $W_{AB}(\vec F_{\text{e}})>0$. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les points $A$ et $B$ : $$\begin{aligned} \Delta E_{\text{c, AB}}&= W_{AB}(\vec F_{\text{e}})\\ &>0 \end{aligned}$$
La vitesse de la particule au point $B$ est plus grande qu’au point $A$, cela implique que la particule $C$ voit sa vitesse augmenter.