Cours : Multiplier et diviser des nombres relatifs

Rappel

Un nombre relatif est formé d’un signe $+$ ou $-$ et d’un nombre appelé distance à zéro.
L’ensemble des nombres positifs (comportant un signe $+$) et des nombres négatifs (comportant un signe $-$) constitue l’ensemble des nombres relatifs.
L’opposé d’un nombre relatif est le même nombre mais avec le signe opposé. Par exemple, l’opposé de $2$ est $-2$. L’opposé de $-2$ est $2$.

Multiplication de nombres relatifs

Produit de deux nombres relatifs de même signe

Propriété

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif.
La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro des deux nombres.

Exemple

$(+9) \times (+7) = +63$ s’écrit tout simplement $9 \times 7 = 63$
$(-5) \times (-6) = +30$ s’écrit plus simplement $-5 \times (-6) = 30$

• $(-5)$ et $(-6)$ sont de même signe, donc leur produit est positif.

Produit de deux nombres relatifs de signes contraires

Propriété

Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif.
La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro des deux nombres.

Exemple

$(-9) \times (+8) = -72$ s’écrit plus simplement $-9 \times 8 = -72$

• $-9$ et $+8$ sont de signes contraires, donc leur produit est négatif.

$(+4,5) \times (-3) = -13,5$ s’écrit plus simplement $4,5 \times (-3) = -13,5$

• $4,5$ et $-3$ sont de signes contraires, donc leur produit est négatif.

Cas particuliers

À retenir

• Le produit d’un nombre relatif par $1$ est égal à ce nombre.

$a$ étant un nombre relatif : $ a \times 1 = 1 \times a = a$

• Le produit d’un nombre relatif par $-1$ est égal à son opposé.

$a$ étant un nombre relatif : $ a \times (-1) = (-1) \times a = -a$

Attention

$-a$ n’est pas toujours un nombre négatif.
Si $a=-2,3$ alors $-a=-(-2,3)=2,3$

• Le produit d’un nombre relatif par $0$ est égal à $0$.

$a$ étant un nombre relatif : $a\times0=0\times a=0$

Multiplication de plusieurs nombres relatifs différents de $0$

À retenir

Dans un produit de plusieurs facteurs :

• si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors ce produit est un nombre positif ;
• si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors ce produit est un nombre négatif ;
• la distance à zéro du produit est égale au produit des distances à zéro de tous les facteurs.

Exemple

$$A = (-1) \times (-2) \times (-3) \times 4 \times (-5)$$

On compte le nombre de facteurs négatifs : $A = \red{(-1)} \times \red{(-2)} \times \red{(-3)} \times 4 \times \red{(-5)}$
Il y en a $4$.

• Or $4$ est un nombre pair, donc le produit est positif.

On effectue le produit des distances à zéro :

$$\begin{aligned} A& = (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5)\\ A& = 120 \end{aligned}$$

Exemple

$$ B = (-1) \times 2 \times (-3) \times 4 \times (-5)$$

On compte le nombre de facteurs négatifs : $B = \red{(-1)} \times 2 \times \red{(-3)} \times 4 \times \red{(-5)}$
Il y en a $3$.

• Or $3$ est un nombre impair, donc le produit est négatif.

$$\begin{aligned} B& = - (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5)\\ B& = -120 \end{aligned}$$

Division de deux nombres relatifs

Définition du quotient d’un nombre relatif $a$ par un nombre relatif $b$ non nul

Définition

Quotient d’un nombre relatif :

Le quotient d’un nombre relatif $a$ par un nombre relatif $b$ non nul est le nombre par lequel il faut multiplier $b$ pour obtenir $a$.
Le quotient de $a$ par $b$ est noté $\dfrac{a}{b}$ ou $a \div b$.

Exemple

$\dfrac{-63}{9}$ ou $-63\div 9$ est le nombre qui multiplié par $9$ est égal à $-63$.
Comme $9\times(-7)=-63$ alors $ -63 \div 9 = -7$

Quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul

À retenir

• Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif.
• Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif.
• La distance à zéro du quotient de deux nombres relatifs est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres.

Exemple

$$75\div 3$$ $75$ et $3$ sont tous deux positifs et donc de même signe. Le résultat sera donc un nombre relatif positif.
On calcule : $$75\div 3 = \dfrac{75}{3} = 25$$

$$-15\div (-2) $$ $-15$ et $-2$ sont tous deux négatifs et donc de même signe. Le résultat sera donc un nombre relatif positif.
On calcule : $$-15\div (-2) = \dfrac{-15}{-2}= 7,5$$

$$100 \div (-4)$$ $100$ et $-4$ sont de signes opposés. Le résultat sera donc un nombre relatif négatif.
On calcule :$$100 \div (-4) = \dfrac{100}{-4} = -25$$

Astuce

Le quotient d’un nombre relatif par $1$ est ce même nombre relatif.
$$\dfrac {a}{1} = a$$ Le quotient d'un nombre relatif par $-1$ est l’opposé de ce nombre relatif. $$\dfrac {a}{-1} = -a$$

Le quotient d’un nombre relatif non nul par lui-même est égal $1$.
$$\dfrac {b}{b} = 1$$ 

Le quotient d’un nombre relatif non nul par son opposé est égal $-1$.
$$\dfrac {b}{-b} = \dfrac {-b}{b} = -1$$

Le quotient de $0$ par un nombre relatif non nul est égal $0$.
$$\dfrac {0}{b} = 0$$

Valeurs approchées du quotient de deux nombres relatifs et encadrements

On considère le quotient $-3 \div 7$ qui se note $\dfrac{-3}{7}$ ou $-\dfrac{3}{7}$

La division de $3$ par $7$ ne s’arrête pas, cela signifie que le reste de la division ne sera jamais zéro.
Le quotient obtenu n’est pas un nombre décimal (un nombre décimal a une suite décimale limitée).
Le quotient obtenu est un nombre réel (un nombre réel peut avoir une suite décimale illimitée).

• Par conséquent, nous ne pouvons pas donner une écriture décimale de ce quotient.

Nous pouvons par contre donner :

• des encadrements de ce quotient :

$-0,5<-\dfrac{3}{7}<-0,4 \,\, \rightarrow \,\,$ c’est un encadrement au dixième près de $-\dfrac{3}{7}$ ;

$-0,43<-\dfrac{3}{7}<-0,42 \,\, \rightarrow \,\,$ c’est un encadrement au centième près de $-\dfrac{3}{7}$ ;

• des valeurs approchées de ce quotient :

$-0,5$ est une valeur approchée par défaut au dixième près de $-\dfrac{3}{7}$ ;
$-0,4$ est une valeur approchée par excès au dixième près de $-\dfrac{3}{7}$ ;
$-0,43$ est une valeur approchée par défaut au centième près de $-\dfrac{3}{7}$;
$-0,42$ est une valeur approchée par excès au centième près de $-\dfrac{3}{7}$.

Méthode pour effectuer un calcul comportant les quatre opérations

On prend l’expression suivante :
$$ C = -6 + 28\div [3 \times (-5) - (7 - 8)]$$

• On effectue d’abord le calcul entre les parenthèses les plus intérieures :

$\begin{aligned} C& = -6+ 28\div [3 \times (-5) - \red{(7 - 8)}]\\ C& = -6 + 28\div [3 \times (-5) - \red{(-1)}] \end{aligned}$

• On respecte la priorité de la multiplication sur la soustraction :

$\begin{aligned} C& = -6+ 28\div [\red{3 \times (-5)} - (-1)]\\ C& = -6+ 28\div [\red{-15} - (-1)] \end{aligned}$

• On effectue le calcul entre crochets :

$\begin{aligned} C& = -6+ 28\div \red{[-15 - (-1)]}\\ C& = -6 + 28\div \red{(-15 + 1)} \\ C& = -6 + 28\div \red{(-14)} \end{aligned}$

• On respecte la priorité de la division sur l’addition :

$\begin{aligned} C& = -6 + \red{28 \div (-14)} \\ C& = -6 + \red{(-2)}\\ \end{aligned}$

• On effectue la dernière addition :

$\begin{aligned} C& = \red{-6 + (-2)}\\ C& = \red{-8} \end{aligned}$