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Programme Lycée 1ere S Cours Mathématiques Nombre dérivé et fonction dérivéeFiche de révision : Nombre dérivé et fonction dérivée
Nombre dérivé et fonction dérivée
Nombre dérivé et tangente à une courbe
Nombre dérivé et tangente à une courbe
Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et a un réel de cet intervalle. Soit $h$ un nombre réel tel que $a+h$ appartient à $I$.
On appelle taux d’accroissement de $f$ en $a$, le nombre : $\dfrac{(f(a+h)-f(a))}{h}$
Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle. Soit $h$ un nombre réel tel que $a+h$ appartient à $I$.
On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ admet pour limite un nombre réel lorsque $h$ tend vers zéro. Ce nombre, noté $f'(a)$, est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$. Lorsque $f$ est dérivable en $a$, on a ainsi : $f'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Définition : tangente à une courbe
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle. Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O\ ;I\ ;J)$ du plan. Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $C$ au point $A(a ;f(a))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
Propriété :
Au point d’abscisse $a$, la tangente à la courbe représentative de $f$ a pour équation : $y=f'(a) (x-a)+f(a)$
On retiendra que les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur « zéro ».
Fonction dérivée
Fonction dérivée
Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$. La fonction qui, à tout réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$. Cette fonction est notée $f'$ et est définie sur $I$.
Dérivées des fonctions usuelles
Opérations sur les fonctions dérivables :
- $(u+v)'=u'+v'$
- $(ku)'=ku'$
- $(uv)'=u'v+uv'$
- $(\dfrac{1}{v} )'=-\dfrac{v'}{v^2}$
- $\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v\ -\ uv'}{v^2}$