Fiche de révision : Nombre dérivé et fonction dérivée

Définition :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle. Soit $h$ un nombre réel tel que $a+h$ appartient à $I$.

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ admet pour limite un nombre réel lorsque $h$ tend vers zéro. Ce nombre, noté $f'(a)$, est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$. Lorsque $f$ est dérivable en $a$, on a ainsi : $f'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Définition : tangente à une courbe

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle. Soit $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O\ ;I\ ;J)$ du plan. Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $C$ au point $A(a ;f(a))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

Propriété :

Au point d’abscisse $a$, la tangente à la courbe représentative de $f$ a pour équation : $y=f'(a) (x-a)+f(a)$

On retiendra que les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur « zéro ».