Nombre dérivé et fonction dérivée

Nombre dérivé et tangente à une courbe

Définition :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et a un réel de cet intervalle. Soit hh un nombre réel tel que a+ha+h appartient à II.

On appelle taux d’accroissement de ff en aa, le nombre : (f(a+h)f(a))h\dfrac{(f(a+h)-f(a))}{h}

Définition :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle. Soit hh un nombre réel tel que a+ha+h appartient à II.

On dit que ff est dérivable en aa si le taux d’accroissement de ff en aa admet pour limite un nombre réel lorsque hh tend vers zéro. Ce nombre, noté f(a)f'(a), est appelé nombre dérivé de ff en aa. Lorsque ff est dérivable en aa, on a ainsi : f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Définition : tangente à une courbe

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un réel de cet intervalle. Soit CC la courbe représentative de ff dans un repère (O ;I ;J)(O\ ;I\ ;J) du plan. Si ff est dérivable en aa, la tangente à CC au point A(a;f(a))A(a ;f(a)) est la droite passant par AA et de coefficient directeur f(a)f'(a).

Propriété :

Au point d’abscisse aa, la tangente à la courbe représentative de ff a pour équation : y=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a) (x-a)+f(a)

On retiendra que les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur « zéro ».

Fonction dérivée

Définition :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. On dit que ff est dérivable sur II si elle est dérivable en tout réel xx de II. La fonction qui, à tout réel xx de II, associe le nombre dérivé f(x)f'(x) est appelée fonction dérivée de ff. Cette fonction est notée ff' et est définie sur II.

Dérivées des fonctions usuelles

Opérations sur les fonctions dérivables :

  • (u+v)=u+v(u+v)'=u'+v'
  • (ku)=ku(ku)'=ku'
  • (uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv'
  • (1v)=vv2(\dfrac{1}{v} )'=-\dfrac{v'}{v^2}
  • (uv)=uv  uvv2\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v\ -\ uv'}{v^2}
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