Géométrique des nombres complexes : Fiche de révision de Tle

Le point de vue géométrique des nombres complexes

Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2024. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2024 ou des coefficients des matières … 💪

Nous nous plaçons dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$, appelé plan complexe.

Nombres complexes et représentation dans un repère

Soit un nombre complexe $z$ dont l’écriture algébrique est $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ des nombres réels.
L’image de ce nombre complexe $z$ dans le plan complexe est le point $M$ de coordonnées $(a\ ;\, b)$.
Et à $z$ est associé tout vecteur $\overrightarrow{w\ }$ de coordonnées $\binom ab$.
Axes et origine du repère :
Les images des réels sont sur l’axe des abscisses $(O\ ;\, \vec u)$, appelé axe des réels.
Les images des imaginaires purs sont sur l’axe des ordonnées $(O\ ;\, \vec v)$, appelé axe des imaginaires.
Le complexe nul $z=0$ a pour image l’origine du repère.

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À tout point du plan complexe $M$ de coordonnées $(a\ ;\, b)$, avec $a$ et $b$ des réels, est associé un unique nombre complexe $z_M$, dont l’écriture algébrique est $z_M=a+\text{i}b$.
$z_M$ est alors appelé affixe du point $M$.
Soit les points $M$ d’affixe $z$, $M^\prime$ d’affixe $-z$ et $M^{\prime\prime}$ d’affixe $\bar z$.
$M^{\prime}$ est l’image de $M$ par symétrie centrale de centre $O$ ;
$M^{\prime\prime}$ est l’image de $M$ par symétrie axiale selon l’axe des réels.
À tout vecteur $\overrightarrow{w\ }$ du plan complexe de coordonnées $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, avec $a$ et $b$ des réels, est associé un unique nombre complexe $z_{\overrightarrow{w\ }}$ dont l’écriture algébrique est $z_{\overrightarrow{w\ }}=a+\text{i}b$.
$z_{\overrightarrow{w\ }}$ est alors appelé affixe du vecteur $\overrightarrow{w\ }$.
Soit les points $A$ d’affixe $z_A$ et $B$ d’affixe $z_B$.
Soit les vecteurs $\overrightarrow {w\ }$ d’affixe $z_{\overrightarrow{w\ }}$ et $\overrightarrow{w^{\prime}\ }$ d’affixe $z_{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}$.

Propriétés

$A$ et $B$ sont confondus si et seulement si $z_A=z_B$

Le milieu du segment $[AB]$ a pour affixe : $$\dfrac{z_A+z_B}{2}$$

Le vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ a pour affixe : $$ z_B-z_A$$

Le vecteur $\overrightarrow{w\ }+\overrightarrow{w^{\prime}\ }$ a pour affixe : $$ z_{\overrightarrow{w\ }}+z_{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}$$

Le vecteur $k\overrightarrow{w\ }$ (avec $k$ réel) a pour affixe : $$k\,z_{\overrightarrow{w\ }}$$

Module et argument d’un nombre complexe

Soit un point $M$ du plan d’affixe $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ réels.
La distance $OM$, avec $O$ l’origine du repère, est aussi appelée module de $z$ :

$$\vert z\vert=OM=\sqrt{a^2+b^2}$$

Nous avons aussi les égalités suivantes :

$$\begin{aligned} z \bar{z}&=\vert z\vert ^2 \\ \vert z\vert &=\sqrt{z\bar{z}} \end{aligned}$$

Les modules permettent notamment de démontrer des égalités de longueur et des propriétés de certaines figures.
Soit un point $M$ d’affixe $z$ non nulle situé dans le plan complexe associé au repère $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$, alors une mesure en radian de l’angle $(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ })$ est un argument de $z$.
On le note $\arg{(z)}$.
Il existe une infinité d’arguments possibles au complexe $z$ associé à $M$, et on utilise souvent la notation :

$$\arg{(z)}=\theta\, \lbrack 2\pi\rbrack$$

$0$ n’a pas d’argument.

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$z$ réel strictement positif	$$\arg{(z)}=0\,\lbrack 2\pi\rbrack$$
$z$ réel strictement négatif	$$\arg{(z)}=\pi\,\lbrack 2\pi\rbrack$$
$z$ imaginaire pur avec sa partie imaginaire strictement positive	$$\arg{(z)}=\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack$$
$z$ imaginaire pur avec sa partie imaginaire strictement négative	$$\arg{(z)}=-\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack $$

Tout nombre complexe $z$ non nul admet une écriture trigonométrique tel que :

$$\begin {aligned} z&=r \big(\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}\big) \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $r=\vert z\vert$ et $\theta=\arg{(z)}$]}}} \end{aligned}$$

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (modulo $2\pi$).
Propriétés opératoires :
$z$ et $z^{\prime}$ sont deux nombres complexes non nuls, $n$ un entier naturel.

Opposé	$\vert -z\vert=\vert z\vert$	$\arg(-z)=\arg(z)+\pi \,\lbrack 2\pi\rbrack$
Conjugué	$\vert \bar z\vert=\vert z\vert$	$\arg(\bar{z})=-\arg(z) \,\lbrack 2\pi\rbrack$
Produit	$\vert z\times z^{\prime}\vert =\vert z\vert \times \vert z^{\prime}\vert$	$\arg(zz^{\prime})=\arg(z)+\arg(z^{\prime})$
Puissance	$\vert z^n\vert=\vert z\vert ^n$	$\arg(z^n)= n\,\arg(z)$
Inverse	$\left\vert \dfrac{1}{z}\right\vert =\dfrac{1}{\vert z\vert }$	$\arg\left(\dfrac 1z\right)=- \arg(z)$
Quotient	$\left\vert \dfrac z{z^{\prime}}\right\vert =\dfrac{\vert z\vert }{\vert z^{\prime}\vert }$	$\arg\left(\dfrac z{z^{\prime}}\right)=\arg(z)- \arg(z^{\prime})$

Notons que les formules pour les modules de l’opposé, du conjugué, d'un produit et d'une puissance sont aussi valables pour $z$ et $z^\prime$ nuls.

Ensemble $\mathbb U$ des nombres complexes de module $1$

L’ensemble des nombres complexes de module $1$ est noté $\mathbb U$.
L’ensemble des points qui leur sont associés dans le plan complexe forme un cercle de centre $O$ et de rayon $1$, appelé cercle trigonométrique.
Soit $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ réels, un nombre complexe appartenant à $\mathbb U$.
On a alors : $a^2+b^2=1$.
$\mathbb U$ est stable par produit et par passage à l’inverse.

Fiche de révision : Le point de vue géométrique des nombres complexes

Nombres complexes et représentation dans un repère

Module et argument d’un nombre complexe

Ensemble $\mathbb U$ des nombres complexes de module $1$