Le point de vue géométrique des nombres complexes

• Nous nous plaçons dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$, appelé plan complexe.

Nombres complexes et représentation dans un repère

• Soit un nombre complexe $z$ dont l’écriture algébrique est $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ des nombres réels.
• L’image de ce nombre complexe $z$ dans le plan complexe est le point $M$ de coordonnées $(a\ ;\, b)$.
• Et à $z$ est associé tout vecteur $\overrightarrow{w\ }$ de coordonnées $\binom ab$.
• Axes et origine du repère :
• Les images des réels sont sur l’axe des abscisses $(O\ ;\, \vec u)$, appelé axe des réels.
• Les images des imaginaires purs sont sur l’axe des ordonnées $(O\ ;\, \vec v)$, appelé axe des imaginaires.
• Le complexe nul $z=0$ a pour image l’origine du repère.

• À tout point du plan complexe $M$ de coordonnées $(a\ ;\, b)$, avec $a$ et $b$ des réels, est associé un unique nombre complexe $z_M$, dont l’écriture algébrique est $z_M=a+\text{i}b$.
• $z_M$ est alors appelé affixe du point $M$.
• Soit les points $M$ d’affixe $z$, $M^\prime$ d’affixe $-z$ et $M^{\prime\prime}$ d’affixe $\bar z$.
• $M^{\prime}$ est l’image de $M$ par symétrie centrale de centre $O$ ;
• $M^{\prime\prime}$ est l’image de $M$ par symétrie axiale selon l’axe des réels.
• À tout vecteur $\overrightarrow{w\ }$ du plan complexe de coordonnées $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, avec $a$ et $b$ des réels, est associé un unique nombre complexe $z_{\overrightarrow{w\ }}$ dont l’écriture algébrique est $z_{\overrightarrow{w\ }}=a+\text{i}b$.
• $z_{\overrightarrow{w\ }}$ est alors appelé affixe du vecteur $\overrightarrow{w\ }$.
• Soit les points $A$ d’affixe $z_A$ et $B$ d’affixe $z_B$.
  Soit les vecteurs $\overrightarrow {w\ }$ d’affixe $z_{\overrightarrow{w\ }}$ et $\overrightarrow{w^{\prime}\ }$ d’affixe $z_{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}$.

Module et argument d’un nombre complexe

• Soit un point $M$ du plan d’affixe $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ réels.
• La distance $OM$, avec $O$ l’origine du repère, est aussi appelée module de $z$ :

$$\vert z\vert=OM=\sqrt{a^2+b^2}$$

• Nous avons aussi les égalités suivantes :

$$\begin{aligned} z \bar{z}&=\vert z\vert ^2 \\ \vert z\vert &=\sqrt{z\bar{z}} \end{aligned}$$

• Les modules permettent notamment de démontrer des égalités de longueur et des propriétés de certaines figures.
• Soit un point $M$ d’affixe $z$ non nulle situé dans le plan complexe associé au repère $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$, alors une mesure en radian de l’angle $(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ })$ est un argument de $z$.
• On le note $\arg{(z)}$.
• Il existe une infinité d’arguments possibles au complexe $z$ associé à $M$, et on utilise souvent la notation :

$$\arg{(z)}=\theta\, \lbrack 2\pi\rbrack$$

• $0$ n’a pas d’argument.

• Tout nombre complexe $z$ non nul admet une écriture trigonométrique tel que :

$$\begin {aligned} z&=r \big(\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}\big) \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $r=\vert z\vert$ et $\theta=\arg{(z)}$]}}} \end{aligned}$$

• Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (modulo $2\pi$).
• Propriétés opératoires :
• $z$ et $z^{\prime}$ sont deux nombres complexes non nuls, $n$ un entier naturel.

• Notons que les formules pour les modules de l’opposé, du conjugué, d'un produit et d'une puissance sont aussi valables pour $z$ et $z^\prime$ nuls.

Ensemble $\mathbb U$ des nombres complexes de module $1$

• L’ensemble des nombres complexes de module $1$ est noté $\mathbb U$.
• L’ensemble des points qui leur sont associés dans le plan complexe forme un cercle de centre $O$ et de rayon $1$, appelé cercle trigonométrique.
• Soit $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ réels, un nombre complexe appartenant à $\mathbb U$.
• On a alors : $a^2+b^2=1$.
• $\mathbb U$ est stable par produit et par passage à l’inverse.