Cours : Nombres premiers et fractions irréductibles

On cherche d’abord à décomposer le nombre $1\,071$ en produit de facteurs premiers.
On en déduira ensuite la décomposition de $2\,142\,000\,000$.

Pour décomposer $1\,071$ en produit de facteurs premiers, on cherche le plus petit nombre premier qui le divise.
C’est un nombre impair, donc il n’est pas divisible par $2$, mais il est divisible par $3$, puisque $1+0+7+1=9$ est un multiple de $3$.
En effectuant la division de $1\,071$ par $3$, on trouve un quotient égal à $357$. On cherche alors là aussi le plus petit nombre premier qui divise ce quotient.
Et ainsi de suite, jusqu’à obtenir un quotient égal à $1$ :

• On obtient ainsi :

$$1\,071=3\times 3\times 7\times 17=3^2\times 7\times 17$$

Trouvons maintenant la décomposition en produit de facteurs premiers de $2\,142\,000\,000$.

Ici, évidemment, nous n’allons pas opérer de la même façon, car ça pourrait être très long… Nous allons en fait nous servir de la décomposition précédente.

Tout d’abord, nous savons que nous pouvons écrire ce très grand nombre en utilisant les puissances de $10$ :

$$\begin{aligned} 2\,142\,000\,000&=2\,142\times 1\,000\,000 \\ &=2\,142\times 10^6 \end{aligned}$$

Ensuite, nous remarquons que :

• d’une part, $2\,142$ est le double de $1\,071$ ;
• d’autre part, $10$ est égal au produit de $2$ et $5$, qui sont des nombres premiers.

Nous obtenons ainsi :

$$\begin{aligned} 2\,142\,000\,000&=2\times 1\,071\times (2\times 5)^6 \\ &=2\times 1\,071\times 2^6\times 5^6 \\ &=2\times 2^6\times 5^6\times 1\,071 \\ &=2^7\times 5^6\times 1\,071 \end{aligned}$$

• Il ne nous reste donc plus qu’à remplacer $1\,071$ par la décomposition que nous avons trouvée au premier point :

$$\begin{aligned} 2\,142\,000\,000 &= 2^7\times 5^6\times 3^2\times 7\times 17 \\ &=2^7\times 3^2\times 5^6\times 7\times 17 \end{aligned}$$

On considère la fraction $\frac 9{20}$.

• $9$ a pour diviseurs $1$ ; $3$ et $9$.
• $20$ a pour diviseurs $1$ ; $2$ ; $4$ ; $5$ ; $10$ et $20$.
• $1$ est leur seul diviseur commun. La fraction $\frac 9{20}$ est donc irréductible.

On considère la fraction $\frac {21}{6}$.

• $21$ a pour diviseurs $1$ ; $3$ ; $7$ et $21$.
• $6$ a pour diviseurs $1$ ; $2$ ; $3$ ; $6$.
• Ils ont un diviseur commun différent de $1$ : le nombre entier $3$. La fraction $\frac {21}6$ n’est donc pas irréductible. On peut encore la simplifier, par $3$ :

$$\dfrac {21}6=\dfrac {\cancel{3}\times 7}{2\times \cancel 3}=\dfrac 72$$

• $7$ et $2$ ont $1$ pour seul diviseur commun. La fraction $\frac 72$ est donc irréductible.

On cherche à rendre irréductible la fraction $\frac {6\,762}{3\,192}$.
On peut remarquer qu’ils ont au moins un diviseur commun différent de $1$, qui est $2$ puisque ce sont des nombres pairs ; la fraction n’est donc pas sous sa forme irréductible.

On commence par décomposer en produits de facteurs premiers numérateur et dénominateur :

On obtient ainsi :

$$\dfrac {6\,762}{3\,192}=\dfrac {2\times 3\times 7\times 7\times 23}{2\times 2\times 2\times 3\times 7\times 19}$$

On simplifie maintenant par tous les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur :

$$\begin{aligned} \dfrac {6\,762}{3\,192}&=\dfrac {\cancel 2\times \cancel 3\times \cancel 7\times 7\times 23}{\cancel 2\times 2\times 2\times \cancel 3\times \cancel 7\times 19} \\ &=\dfrac {7\times 23}{2\times 2\times 19} \\ &=\dfrac {161}{76} \end{aligned}$$

Remarque :
On a en fait simplifié par le plus grand diviseur commun à $6\,762$ et $3\,192$, qui est égal au produit de tous les facteurs premiers communs à leur décomposition :

$$2\times 3\times 7=42$$