Cours : Passer d'une écriture décimale à une écriture fractionnaire

Les nombres décimaux

Définition

Nombre décimal :

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$…

Rappel

Dans la fraction $\dfrac 14$, on appelle $1$ le numérateur et $4$ le dénominateur.

Exemple

$\dfrac{183}{10}$, $\dfrac{15}{100}$ ou encore $\dfrac{1}{1\,000}$ sont des nombres décimaux.

Les différentes écritures des nombres décimaux

À retenir

Tout nombre décimal peut s’écrire sous différentes formes : écriture fractionnaire, décimale, en lettres ou encore décompositions d’ordres divers.

Écriture fractionnaire

L’écriture fractionnaire, c’est l’écriture qui permet de définir un nombre décimal puisqu’un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale : le numérateur est un entier et le dénominateur est $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$…

Exemple

$\dfrac{2\,875}{100}$ est un nombre décimal écrit en écriture fractionnaire.

Écriture décimale

À retenir

Un nombre décimal s’écrit à l’aide d’un nombre de chiffres fini et d’une virgule.

La partie située à gauche de la virgule est appelée partie entière, celle située à droite de la virgule est appelée partie décimale.

Exemple

$\blue{28},\red{75}$ est le même nombre décimal que $\frac{2\,875}{100}$ mais écrit en écriture décimale. $\blue{28}$ est la partie entière et $\red{75}$ est la partie décimale.

À retenir

Un nombre entier est un nombre décimal car on peut lui ajouter un ou plusieurs zéros après la virgule sans que sa valeur change.

Exemple

$17$ peut s’écrire $17,0$ ou $17,00$.

• $17$ est un donc nombre décimal dont on ne fait pas apparaître les zéros inutiles.

Il peut aussi s’écrire sous la forme d’une fraction décimale : par exemple $\dfrac {170}{10}$.

Écriture en lettres

Un nombre décimal s’écrit en toutes lettres en spécifiant le rang des chiffres (unités, dixièmes, centièmes…).

Exemple

Si on reprend le nombre précédent $28,75$, on peut l’écrire en toutes lettres : vingt-huit unités sept dixièmes et cinq centièmes.

Décompositions

Définition

Décomposition :

Décomposer un nombre, c’est le transformer en une expression équivalente formée de composants plus simples.

Il existe plusieurs types de décompositions d’un nombre décimal.

• Décomposition additive : somme des termes correspondants à chaque rang du nombre.
• $20 + 8 + 0,7 + 0,05$ est la décomposition additive de $28,75$.
• Décomposition canonique : somme des termes décomposés en nombre de paquets par rang.
• $2 \times 10 + 8 \times 1 + 7 \times 0,1 + 5 \times 0,01$ est la décomposition canonique de $28,75$.

On peut également écrire notre nombre décimal $28,75$ sous les formes suivantes :

• somme d’un entier et d’un décimal inférieur à $1$ : $28 + 0,75$
• somme d’un entier et d’une fraction décimale inférieure à $1$ : $28 + \dfrac{75}{100}$
• somme de fractions décimales : $\dfrac{2\,800}{100}+\dfrac{70}{100}+\dfrac{5}{100}$

Toutes ces formes d’écritures faisant appel à l’écriture décimale et/ou à l’écriture fractionnaire, il suffira de savoir passer de l’une à l’autre de ces deux écritures pour savoir naviguer entre toutes. C’est ce que nous allons voir maintenant.

Passer d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire

MÉTHODOLOGIE

Pour passer de l’écriture décimale d’un nombre à son écriture fractionnaire :

• on prend comme numérateur de la fraction décimale le nombre à virgule auquel on enlève la virgule (on garde uniquement les chiffres) ;
• pour déterminer le dénominateur, on repère le rang du dernier chiffre du nombre à virgule :
• s’il s’agit du rang des dixièmes, le dénominateur sera $10$ ;
• s’il s’agit du rang des centièmes, le dénominateur sera $100$ ;
• s’il s’agit du rang des millièmes, le dénominateur sera $1\,000$ ;
• etc.

Exemple

On souhaite écrire le nombre décimal $68,742$ en écriture fractionnaire.

• On prend comme numérateur de la fraction décimale le nombre à virgule auquel on enlève la virgule (on garde uniquement les chiffres), ici $68\,742$.
• Pour déterminer le dénominateur, on repère le rang du dernier chiffre du nombre à virgule. Ici, le rang du dernier chiffre de $68,74\red{2}$ est celui des millièmes (3^e chiffre après la virgule). Le dénominateur de la fraction décimale sera donc $1\,000$.
• L’écriture fractionnaire de $68,742$ est donc $\dfrac{68\,742}{1\,000}$.

Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale

MÉTHODOLOGIE

Pour passer de l’écriture fractionnaire d’un nombre à son écriture décimale :

• le dénominateur de la fraction décimale détermine le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché :
• si le dénominateur est $10$, le rang du dernier chiffre sera celui des dixièmes (1^er chiffre après la virgule) ;
• si le dénominateur est $100$, le rang du dernier chiffre sera celui des centièmes (2^e chiffre après la virgule) ;
• si le dénominateur est $1\,000$, le rang du dernier chiffre sera celui des millièmes (3^e chiffre après la virgule) ;
• etc.
• Le nombre à virgule recherché est le numérateur de la fraction décimale auquel on rajoute une virgule de telle sorte que son dernier chiffre corresponde au rang déterminé à l’étape 1.

Astuce

Autrement dit, on positionne une virgule à la fin du numérateur et on la décale vers la gauche d’autant de rangs qu’il y a de zéros au dénominateur.

Exemple

On souhaite écrire la fraction décimale $\dfrac{47}{100}$ en écriture décimale.

• Le dénominateur de la fraction décimale détermine le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché. Ici, le dénominateur de la fraction décimale est $100$. Le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché sera donc celui des centièmes.
• Le nombre à virgule recherché est le numérateur de la fraction décimale auquel on rajoute une virgule de telle sorte que son dernier chiffre corresponde au rang déterminé à l’étape 1. Ici, le numérateur de la fraction décimale est $47$. Le nombre à virgule recherché est donc le nombre $47$ auquel on rajoute une virgule de telle sorte que le chiffre $7$ soit le 2^e chiffre après la virgule (rang des centièmes).
• L’écriture décimale de $\dfrac{47}{100}$ est donc $0,47$.