Fiche de révision : Variation en pourcentage, pourcentages et coefficients multiplicateurs, indices et évolution

Différentes façons d’exprimer une variation

Définitions

• Une évolution de $t$ % entre une valeur initiale $V_0$ non nulle et une valeur finale $V_1$ signifie que : $V_1=V_0 (1+ \dfrac{t}{100})$
• Le coefficient multiplicateur de $V_0$ à $V_1$ , noté $CM$, est le rapport $\dfrac{V_1}{V_0} =1+\dfrac{t}{100}$

• La variation relative est le quotient $\dfrac{V_1-V_0}{V_0}$
• On appelle variation absolue la quantité $V_1-V_0$
• Le pourcentage d’évolution ou le taux d’évolution est la variation relative exprimée en pourcentage : $t=\dfrac {V_1-V_0}{V_0} \times 100$

Propriétés et remarques

Pour le coefficient multiplicateur noté $CM$ :

• Si $CM >1$, alors l’évolution est une augmentation ou autrement dit une hausse.
• Si $CM <1$, alors l’évolution est une réduction ou autrement dit une baisse.

Pour le taux d’évolution noté $t$ :

• Si $t >0$, alors l’évolution est une augmentation ou autrement dit une hausse.
• Si $t <0$, alors l’évolution est une réduction ou autrement dit une baisse.

Lien entre pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur

Propriété :

Pour obtenir la valeur finale qu’on a augmenté de $t$ %, on multiplie la valeur initiale par le coefficient multiplicateur : $CM=1+\dfrac{t}{100}$.

Pour obtenir la valeur finale qu’on a diminué de t%, on multiplie la valeur initiale par le coefficient multiplicateur : $CM=1-\dfrac {t}{100}$.

Indices et évolution

Indice

$indice\ année\ n=\dfrac{valeur\ de\ l'année\ n}{valeur\ de\ l'année\ de\ base}\times100$

Évolutions successives

Propriété :

Si le taux d’évolution de la valeur $V_0$ non nulle à une valeur $V_1$ est $t_1$ % , et le taux d’évolution de la valeur $V_1$ à une valeur $V_2$ est $t_2$ %, alors le taux d’évolution global $t$ % de $V_0$ à $V_2$ est tel que :

$1+\dfrac{t}{100}=(1+\dfrac {t_1}{100})\times (1+\dfrac {t_2}{100})$

Ou bien :

$CM_{global}=CM_1\times CM_2$

Évolutions réciproques

Propriété :

Le taux d’évolution d’une valeur $V_0$ non nulle à une valeur $V_1$ est $t$ %. Le taux d’évolution réciproque de ce taux de $t$ % est celui qui fait passer de la valeur $V_1$ à la valeur $V_0$.

Le taux d’évolution réciproque $t'$ % d’un taux de $t$ % est tel que : $1+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{(1+\dfrac{t}{100})}$

Avec les coefficients multiplicateurs, cela parait plus simple et revient au même : $CM'\times CM=1$