Les probabilités
Introduction :
Le mot « hasard » vient de l’arabe az-zahr, qui signifie « jeu de dé ». Le résultat de certaines actions, que l’on appellera « expériences » en mathématiques, comme lancer un dé à 6 faces et relever le nombre obtenu, ou jouer à pile ou face, est le fruit du hasard.
Ces expériences sont dites « aléatoires », adjectif venant du latin alea signifiant également « dé ».
Dans ce cours, nous allons donc d’abord parler de situations liées au hasard en définissant précisément les termes d’expérience aléatoire, d’issue et d’événement. Nous parlerons ensuite des chances de réalisation d’un événement, ce qui nous permettra d’introduire la notion de probabilité.
Situations liées au hasard
Situations liées au hasard
Expérience aléatoire
Expérience aléatoire
Définition
Expérience aléatoire :
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat qui se produira effectivement.
Exemple
Lancer un dé à $6$ faces et relever le nombre obtenu est une expérience aléatoire : on sait qu’il y a $6$ résultats possibles différents, mais on ne sait pas lequel va se réaliser. C’est une situation qui relève bien du hasard.
Issue d’une expérience aléatoire
Issue d’une expérience aléatoire
Définition
Issue :
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.
Exemple
Dans notre expérience du lancer d’un dé à $6$ faces (non pipé), $5$ est une issue parmi les six existantes : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$.
Événement d’une expérience aléatoire
Événement d’une expérience aléatoire
Définition
Événement :
Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issue(s) d’une expérience.
Exemple
« Obtenir un nombre pair » est un événement de l’expérience aléatoire du lancer de dé à $6$ faces.
Il peut être réalisé par les issues $2$, $4$ et $6$.
Notion de probabilité
Notion de probabilité
Chances de réalisation d’un événement
Chances de réalisation d’un événement
Définition
Chances de réalisation d’un événement :
Les chances de réalisation d’un événement sont le nombre de possibilités qu’il a de se réaliser par rapport au nombre de résultats possibles.
Exemple
Il y a $6$ résultats possibles au lancer de dé à $6$ faces. Ils correspondent aux $6$ issues : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$.
- L’événement « obtenir $2$ » ne peut être réalisé que par $1$ issue : l’issue $2$.
- « Obtenir $2$ » a donc $1$ chance sur $6$ de se réaliser.
- L’événement « obtenir un nombre impair » peut être réalisé par $3$ issues : les issues $1$, $3$ et $5$.
- « Obtenir un nombre impair » a donc $3$ chances sur $6$ de se réaliser.
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
Définition
Probabilité d’un événement :
La probabilité d’un événement est la proportion de chance que cet événement se réalise.
- C’est un nombre compris entre $0$ et $1$.
Elle s’exprime sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
À retenir
- Une probabilité nulle correspond à un événement impossible (qui ne peut pas se réaliser).
- Une probabilité égale à $1$ correspond à un événement certain (qui est sûr de se réaliser).
- Plus sa probabilité est grande, plus un événement a de chance de se réaliser.
Échelle de probabilités
Exemple
Reprenons l’exemple du dé à $6$ faces.
- L’événement« obtenir $2$ » a $1$ chance sur $6$ de se réaliser.
- Sa probabilité est donc égale à $\frac 16$, soit environ $0,167$, soit environ $16,7\ \%$.
- L’événement « obtenir un nombre impair » a $3$ chances sur $6$ de se réaliser.
- Sa probabilité est donc égale à $\frac 36=\frac 12$ (en simplifiant la fraction), soit $0,5$, soit $50\ \%$.
On peut aussi dire que l’événement a $1$ chance sur $2$, ou $50\ \%$ de chance, de se réaliser. - Puisqu’il s’agit d’un dé à $6$ faces, donc numéroté de $1$ à $6$, l’événement « obtenir $7$ » n’a aucune chance de se réaliser.
- Sa probabilité est nulle.
- Puisque tous les numéros du dé sont positifs, l’événement « obtenir un nombre positif » est certain de se réaliser.
- Sa probabilité vaut $1$.
Attention
Nous parlons ici de situations où la probabilité peut se déterminer de façon intuitive.
Cette valeur est bien sûr théorique. Si on tente notre expérience du lancer de dé $6$ fois consécutivement, il y a très peu de chances que chacune des issues possibles se produise effectivement une fois !
À retenir
Il n’y a qu’en répétant un très grand nombre de fois l’expérience qu’on obtiendra un résultat proche de la probabilité théorique de l’événement.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons découvert des situations liées au hasard, appelées expériences aléatoires. Nous avons défini les résultats de ces expériences en termes d’issues et d’événements, vocabulaire à connaître et à comprendre. Nous avons également parlé des chances que ces événements se réalisent, ce qui nous a permis d’introduire la notion de probabilité. C’est l’ensemble de ces connaissances qu’il faudra retenir avant d’aborder les probabilités plus sérieusement en 4e.